Problem B. 4629. (April 2014)

B. 4629. Solve the equation \(\displaystyle 2\sin\frac{3x}{2}=3\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)\).

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alkalmazzuk az \(\displaystyle x=t+\frac{2\pi}{3}\) helyettesítést. Ekkor az egyenlet

\(\displaystyle 2\sin\left(\frac{3t}{2}+\pi\right)=3\sin(t+\pi) \)

alakra hozható. Ezután kihasználva, hogy a szinusz függvény páratlan, látjuk, hogy

\(\displaystyle -2\sin\left(\frac{3t}{2}\right)=-3\sin t, \quad 2\sin\left(\frac{3t}{2}\right)=3\sin t. \)

Egy kezelhetőbb alakot kaptunk. A szög háromszorosára és kétszeresére vonatkozó addíciós tételek \(\displaystyle \frac{t}{2}\)-re történő alkalmazásával

\(\displaystyle 2\cdot \sin\frac{t}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{t}{2}\right)=3\cdot 2\cdot \sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}. \)

Rendezés is kiemelés után

\(\displaystyle \sin\frac{t}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{t}{2}-3 \cos\frac{t}{2}\right)=0. \)

Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Emiatt

\(\displaystyle \sin\frac{t}{2}=0 \quad \text{vagy}\quad 3-4\sin^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}=0. \)

Az első egyenletből

\(\displaystyle \frac{t}{2}=k\pi \Longleftrightarrow t=2k\pi \Longleftrightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad \text{ahol}\quad k\in \mathbb{Z}. \)

A második egyenlet a négyzetes összefüggés beírása után \(\displaystyle \cos\frac{t}{2}\)-re másodfokú:

\(\displaystyle 3-4+4\cos^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}=0, \quad 4\cos^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}-1=0. \)

Ennek megoldásai

\(\displaystyle \cos\frac{t}{2}=1 \quad \text{és} \quad \cos\frac{t}{2}=-\frac{1}{4}. \)

Ezek közül az elsőnek a gyökeit a \(\displaystyle \sin\frac{t}{2}=0\) megoldásainál már rögzítettük.

A \(\displaystyle \cos \frac{t}{2}=-\frac{1}{4}\) megoldásai

\(\displaystyle t\approx 1{,}8235+2l\pi\ (l\in \mathbb{Z}), \quad \text{illetve} \quad t\approx 4{,}4597+2m\pi\ (m \in \mathbb{Z}). \)

Innen a további \(\displaystyle x\) értékek

\(\displaystyle x\approx 3{,}9179+2l\pi\ (l\in \mathbb{Z}), \quad \text{továbbá} \quad x\approx 0{,}2709+2m\pi\ (m \in \mathbb{Z}). \)

Ekvivalens átalakításokat végeztünk, az egyenlet összes megoldását megkaptuk, amelyek behelyettesítéssel ellenőrizhetők is.

Schefler Barna (Hám János Liceum, Szatmárnémeti, 9. évf.) dolgozata alapján

Statistics:

34 students sent a solution.
5 points:	Adorján Dániel, Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Forrás Bence, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Williams Kada.
4 points:	Kovács 972 Márton, Sal Kristóf, Vu Mai Phuong.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014