A B. 4629. feladat (2014. április)

B. 4629. Oldjuk meg a

$\displaystyle 2\sin\frac{3x}{2}=3\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right).$

egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Alkalmazzuk az $\displaystyle x=t+\frac{2\pi}{3}$ helyettesítést. Ekkor az egyenlet

$\displaystyle 2\sin\left(\frac{3t}{2}+\pi\right)=3\sin(t+\pi)$

alakra hozható. Ezután kihasználva, hogy a szinusz függvény páratlan, látjuk, hogy

$\displaystyle -2\sin\left(\frac{3t}{2}\right)=-3\sin t, \quad 2\sin\left(\frac{3t}{2}\right)=3\sin t.$

Egy kezelhetőbb alakot kaptunk. A szög háromszorosára és kétszeresére vonatkozó addíciós tételek $\displaystyle \frac{t}{2}$-re történő alkalmazásával

$\displaystyle 2\cdot \sin\frac{t}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{t}{2}\right)=3\cdot 2\cdot \sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}.$

Rendezés is kiemelés után

$\displaystyle \sin\frac{t}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{t}{2}-3 \cos\frac{t}{2}\right)=0.$

Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Emiatt

$\displaystyle \sin\frac{t}{2}=0 \quad \text{vagy}\quad 3-4\sin^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}=0.$

Az első egyenletből

$\displaystyle \frac{t}{2}=k\pi \Longleftrightarrow t=2k\pi \Longleftrightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad \text{ahol}\quad k\in \mathbb{Z}.$

A második egyenlet a négyzetes összefüggés beírása után $\displaystyle \cos\frac{t}{2}$-re másodfokú:

$\displaystyle 3-4+4\cos^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}=0, \quad 4\cos^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}-1=0.$

Ennek megoldásai

$\displaystyle \cos\frac{t}{2}=1 \quad \text{és} \quad \cos\frac{t}{2}=-\frac{1}{4}.$

Ezek közül az elsőnek a gyökeit a $\displaystyle \sin\frac{t}{2}=0$ megoldásainál már rögzítettük.

A $\displaystyle \cos \frac{t}{2}=-\frac{1}{4}$ megoldásai

$\displaystyle t\approx 1{,}8235+2l\pi\ (l\in \mathbb{Z}), \quad \text{illetve} \quad t\approx 4{,}4597+2m\pi\ (m \in \mathbb{Z}).$

Innen a további $\displaystyle x$ értékek

$\displaystyle x\approx 3{,}9179+2l\pi\ (l\in \mathbb{Z}), \quad \text{továbbá} \quad x\approx 0{,}2709+2m\pi\ (m \in \mathbb{Z}).$

Ekvivalens átalakításokat végeztünk, az egyenlet összes megoldását megkaptuk, amelyek behelyettesítéssel ellenőrizhetők is.

Schefler Barna (Hám János Liceum, Szatmárnémeti, 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adorján Dániel, Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Forrás Bence, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Kovács 972 Márton, Sal Kristóf, Vu Mai Phuong.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai