Problem B. 4630. (April 2014)

B. 4630. Points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) and \(\displaystyle D\) are not coplanar. Determine the locus of the points \(\displaystyle P\) for which \(\displaystyle PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}\).

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AC\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F_{AC}\), a \(\displaystyle BD\) szakaszé \(\displaystyle F_{BD}\). A paralelogramma-tétel miatt:

\(\displaystyle 2 PA^{2}+2 PC^{2} =AC^{2}+4 PF_{AC}^{2},\)

\(\displaystyle 2 PB^{2}+2 PD^{2} =BD^{2}+4PF_{BD}^{2}.\)

A feladatban szereplő egyenlőség tehát pontosan akkor teljesül, ha

\(\displaystyle AC^{2}+4 PF_{AC}^{2} =BD^{2}+4PF_{BD}^{2}, \)

\(\displaystyle AC^{2}-BD^{2} =4PF_{BD}^{2}-4 PF_{AC}^{2},\)

\(\displaystyle PF_{BD}^{2}-PF_{AC}^{2} =\frac{AC^{2}-BD^{2}}{4}.\)

Az \(\displaystyle \frac{AC^{2}-BD^{2}}{4}\) konstans, jelöljük \(\displaystyle c\)-vel. Helyezzük el az \(\displaystyle F_{AC}\) és \(\displaystyle F_{BD}\) pontokat egy koordináta-rendszerbe, \(\displaystyle F_{AC}(0, 0, 0)\) és \(\displaystyle F_{BD}(a, 0, 0)\). Legyenek \(\displaystyle P\) koordinátái \(\displaystyle (x,y,z)\). Ekkor \(\displaystyle PF_{AC}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\) és \(\displaystyle PF_{BD}^{2}={(x-a)}^{2}+y^{2}+z^{2}\). Az egyenletünk:

\(\displaystyle {(x-a)}^{2}+y^{2}+z^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c,\)

\(\displaystyle -2ax+a^{2}=c,\)

\(\displaystyle x=\frac{a^{2}-c}{2a}.\)

Ez egy síknak az egyenlete, amely merőleges az \(\displaystyle x\) tengelyre, vagyis az \(\displaystyle F_{AC}F_{BD}\) egyenesre. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder körülírt gömbjének középpontján nyilván átmegy, mert itt \(\displaystyle PA=PB=PC=PD\), tehát a feltétel triviálisan igaz. Így a feladatban szereplő mértani hely a tetraéder köréírt gömbjének középpontján átmenő, az \(\displaystyle F_{AC}F_{BD}\) egyenesre merőleges sík.

Csernák Tamás (Budapesti Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statistics:

33 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gáspár Attila, Kúsz Ágnes, Nagy-György Pál, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Williams Kada.
4 points:	Cseh Kristóf, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Geng Máté, Khayouti Sára, Lajkó Kálmán, Lőrinczy Zsófia Noémi, Maga Balázs, Nagy-György Zoltán, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Szabó Norbert, Tóth Viktor.
3 points:	6 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014