A B. 4630. feladat (2014. április)

B. 4630. Az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontok nem esnek egy síkba. Határozzuk meg azon $\displaystyle P$ pontok mértani helyét, amelyekre $\displaystyle PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az $\displaystyle AC$ szakasz felezőpontja $\displaystyle F_{AC}$, a $\displaystyle BD$ szakaszé $\displaystyle F_{BD}$. A paralelogramma-tétel miatt:

$\displaystyle 2 PA^{2}+2 PC^{2} =AC^{2}+4 PF_{AC}^{2},$

$\displaystyle 2 PB^{2}+2 PD^{2} =BD^{2}+4PF_{BD}^{2}.$

A feladatban szereplő egyenlőség tehát pontosan akkor teljesül, ha

$\displaystyle AC^{2}+4 PF_{AC}^{2} =BD^{2}+4PF_{BD}^{2},$

$\displaystyle AC^{2}-BD^{2} =4PF_{BD}^{2}-4 PF_{AC}^{2},$

$\displaystyle PF_{BD}^{2}-PF_{AC}^{2} =\frac{AC^{2}-BD^{2}}{4}.$

Az $\displaystyle \frac{AC^{2}-BD^{2}}{4}$ konstans, jelöljük $\displaystyle c$-vel. Helyezzük el az $\displaystyle F_{AC}$ és $\displaystyle F_{BD}$ pontokat egy koordináta-rendszerbe, $\displaystyle F_{AC}(0, 0, 0)$ és $\displaystyle F_{BD}(a, 0, 0)$. Legyenek $\displaystyle P$ koordinátái $\displaystyle (x,y,z)$. Ekkor $\displaystyle PF_{AC}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ és $\displaystyle PF_{BD}^{2}={(x-a)}^{2}+y^{2}+z^{2}$. Az egyenletünk:

$\displaystyle {(x-a)}^{2}+y^{2}+z^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c,$

$\displaystyle -2ax+a^{2}=c,$

$\displaystyle x=\frac{a^{2}-c}{2a}.$

Ez egy síknak az egyenlete, amely merőleges az $\displaystyle x$ tengelyre, vagyis az $\displaystyle F_{AC}F_{BD}$ egyenesre. Az $\displaystyle ABCD$ tetraéder körülírt gömbjének középpontján nyilván átmegy, mert itt $\displaystyle PA=PB=PC=PD$, tehát a feltétel triviálisan igaz. Így a feladatban szereplő mértani hely a tetraéder köréírt gömbjének középpontján átmenő, az $\displaystyle F_{AC}F_{BD}$ egyenesre merőleges sík.

Csernák Tamás (Budapesti Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gáspár Attila, Kúsz Ágnes, Nagy-György Pál, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Cseh Kristóf, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Geng Máté, Khayouti Sára, Lajkó Kálmán, Lőrinczy Zsófia Noémi, Maga Balázs, Nagy-György Zoltán, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Szabó Norbert, Tóth Viktor.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai