Problem B. 4631. (April 2014)

B. 4631. The circles $\displaystyle k_0$, $\displaystyle k_1$, $\displaystyle k_2$, $\displaystyle k_3$ lie in the same plane and pairwise touch each other on the outside. The point of contact of $\displaystyle k_i$ and $\displaystyle k_j$ is $\displaystyle T_{ij}$. Let $\displaystyle k_0$ have centre $\displaystyle O$ and radius $\displaystyle r$, and let the circle $\displaystyle T_{12}T_{23}T_{31}$ have centre $\displaystyle U$ and radius $\displaystyle R$. Prove that $\displaystyle OU^2 = R^2-4Rr+r^2$.

(6 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kettő segédállítással kezdünk:

1. segédállítás: Tegyük fel, hogy a $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ körvonalak nem metszik egymást. Ekkor létezik olyan inverzió, amely a $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ köröket koncentrikus körökbe képezi.

Az 1. segédállítás bizonyítása: Legyen $\displaystyle c_1$ középpontja $\displaystyle O_1$, $\displaystyle c_2$ középpontja $\displaystyle O_2$. Ha $\displaystyle O_1=O_2$, akkor bármilyen $\displaystyle O_1$ pólusú inverzió megfelel.

Ha $\displaystyle O_1\ne O_2$, akkor legyen a $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ körök hatványvonala $\displaystyle h$. Mivel $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ nem metszi egymást, $\displaystyle h$ sem metszi a $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ körök egyikét sem. Legyen $\displaystyle H$ a $\displaystyle h$ hatványvonal tetszőleges pontja. A hatványvonal definíciója miatt $\displaystyle H$-ból a $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ körökhöz egyenlő hosszú érintők húzhatóak, jelöljük ezek közös hosszát $\displaystyle e$-vel, és tekintsük a $\displaystyle H$ középpontú, $\displaystyle e$ sugarú $\displaystyle c$ kört. Világos, hogy $\displaystyle c$ merőlegesen metszi $\displaystyle c_1$-et és $\displaystyle c_2$-t. Továbbá $\displaystyle c$ két pontban metszi az $\displaystyle f=O_1O_2$ centrális egyenest. Legyen ezen metszéspontok egyike $\displaystyle P$, $\displaystyle k$ pedig egy $\displaystyle P$ középpontú tetszőleges kör (1. ábra).

1. ábra

Megmutatjuk, hogy a $\displaystyle k$-ra vonatkozó inverzió a kívánalmaknak eleget tesz. Legyenek értelemszerűen a megfelelő körök és egyenesek $\displaystyle k$-ra vonatkozó inverz képei a $\displaystyle c_1'$ és $\displaystyle c_2'$ körök, valamint az $\displaystyle f'$ és $\displaystyle c'$ egyenesek. Az inverzió szögtartása miatt $\displaystyle f'$ és $\displaystyle c'$ merőlegesen metszi $\displaystyle c_1'$ és $\displaystyle c_2'$ mindegyikét, vagyis az egymástól különböző $\displaystyle f'$ és $\displaystyle c'$ egyenesek illeszkednek a $\displaystyle c_1'$ és $\displaystyle c_2'$ körök középpontjaira. Ebből következik, hogy a $\displaystyle c_1'$ és $\displaystyle c_2'$ körök középpontja közös, vagyis $\displaystyle c_1'$ és $\displaystyle c_2'$ koncentrikusak. Ezzel a segédállítást beláttuk.

1. megjegyzés: A gondolatmenetből kiolvasható, hogy a különböző $\displaystyle H$ középpontú körök szükségképpen ugyanabban a két pontban metszik az $\displaystyle e$ centrálist. A háttérben valójában a $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ körök által generált elliptikus körsor, valamint a rá ortogonális (más szóhasználattal hozzá konjugált) hiperbolikus körsor geometriája húzódik, amiről bővebben Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyvének 40. pontjában olvashatunk.

2. megjegyzés: Az állítás erősíthető, előírhatjuk, hogy a koncentrikus $\displaystyle c_1'$ és $\displaystyle c_2'$ körök közül melyik legyen a belső, és melyik a külső. Ehhez a két kapott lehetséges $\displaystyle P$ pont közül kell a megfelelőt kiválasztanunk. Ennek részletes belátását az olvasóra bízzuk, a továbbiakban csak azt fogjuk felhasználni, hogy ha $\displaystyle c_1$ belsejében van $\displaystyle c_2$, akkor elérhető, hogy $\displaystyle c_2'$ is $\displaystyle c_1'$ belsejében legyen; ehhez egy mindkét körön kívüli pólusra kell invertálni.

3. megjegyzés: Ha a $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ körök metszik egymást, nyilvánvalóan nincs olyan inverzió, amely őket koncentrikus körökbe képezi.

2. segédállítás: Legyen a $\displaystyle k$ kör középpontja $\displaystyle O$, $\displaystyle \ell$ egy $\displaystyle O$-ra illeszkedő egyenes, $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pedig négy különböző, $\displaystyle O$-tól különböző pont $\displaystyle \ell$-en. A $\displaystyle k$-ra vonatkozó inverzió az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontokat rendre az $\displaystyle A'$, $\displaystyle B'$, $\displaystyle C'$ és $\displaystyle D'$ pontokba képezi. Ekkor

$\displaystyle \frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}=\frac{A'C'}{C'B'}:\frac{A'D'}{D'B'},$

ahol az $\displaystyle \frac{XY}{YZ}$ arányhoz pozitív előjelet rendelünk, ha $\displaystyle Y\in \overline{XZ}$, egyébként pedig negatívat.

A 2. segédállítás bizonyítása: Válasszuk a koordinátarendszert úgy, hogy $\displaystyle O$ legyen az origó, $\displaystyle k$ sugara legyen egységnyi, és az $\displaystyle \ell$ egyenes egybeessen az $\displaystyle x$-ten­gellyel. Ekkor az állítás ekvivalens a könnyen ellenőrizhető

$\displaystyle \frac{a-c}{c-b}:\frac{a-d}{d-b}=\frac{\frac1a-\frac1c}{\frac1c-\frac1b}: \frac{\frac1a-\frac1d}{\frac1d-\frac1b}$

azonossággal. Ezzel a 2. segédállítást beláttuk.

4. megjegyzés: A 2. segédállítás egy speciális esete annak a ténynek, hogy az inverzió tartja a kettősviszonyt, lásd Dobos Sándor, Hraskó András, Kiss Géza, Surányi László: Geometria, 11.–12. évfolyam c. könyvében a 3.8. szakasz 3.2. és 3.3. feladatait, illetve Szőkefalvi-Nagy Béla: Komplex függvénytan c. könyvének 3. fejezetét.

Ezután rátérünk a feladat megoldására. Az állítás csak abban az esetben igaz, ha a négy érintkező kör közül $\displaystyle k_0$ a középső, először ezzel az esettel foglalkozunk.

Legyen $\displaystyle k_4$ a $\displaystyle T_{12}T_{23}T_{31}$ kör. Világos, hogy $\displaystyle k_4$ a belsejében tartalmazza $\displaystyle k_0$-t, és merőlegesen metszi a $\displaystyle k_1$, $\displaystyle k_2$ és $\displaystyle k_3$ köröket. Tegyük fel, hogy $\displaystyle O\ne U$ és messe az $\displaystyle OU$ egyenes $\displaystyle k_4$-et az $\displaystyle A$ és $\displaystyle D$ pontokban, $\displaystyle k_0$-t a $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ pontokban a 2. ábra szerint. Az 1. segédállítást, illetve a 2. megjegyzést felhasználva hajtsunk végre egy alkalmas $\displaystyle P$ középpontú $\displaystyle k$ körre vonatkozó inverziót, amely a $\displaystyle k_0$ és $\displaystyle k_4$ köröket a koncentrikus $\displaystyle k_0'$ és $\displaystyle k_4'$ körökbe képezi, ahol $\displaystyle k_0'$ a $\displaystyle k_4'$ belsejében van. A $\displaystyle k_1$, $\displaystyle k_2$ és $\displaystyle k_3$ körök $\displaystyle k_1'$, $\displaystyle k_2'$ és $\displaystyle k_3'$ képei is körök lesznek, amelyek merőlegesen metszik $\displaystyle k_4'$-et, és kívülről érintik $\displaystyle k_0'$-t. Az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontok egy $\displaystyle P$ pólusból induló félegyenesre illeszkednek, ezért $\displaystyle A'$, $\displaystyle B'$, $\displaystyle C'$ és $\displaystyle D'$ képeik is, de sorrendjük az eredetihez képest megfordul. Így az inverzió után a 3. ábrát kapjuk.

2. ábra                                                   3. ábra

Használjuk a 3. ábra jelöléseit, $\displaystyle k_0'$ és $\displaystyle k_4'$ közös centruma legyen $\displaystyle \widehat O$. Mivel $\displaystyle k_1'$, $\displaystyle k_2'$ és $\displaystyle k_3'$ merőlegesen metszik $\displaystyle k_4'$-t, egymást páronként kívülről érintik, valamint érintik a $\displaystyle k_4'$-vel koncentrikus $\displaystyle k_0'$ kört, a sugaraik megegyeznek. Ebből könnyen látható, hogy $\displaystyle \widehat O\widehat {O_1}T_{12}'$ derékszögű háromszög $\displaystyle \widehat O$ szöge $\displaystyle 60^\circ$, átfogójának felezőpontja $\displaystyle M$. Így $\displaystyle k_1'$ sugara egyrészt $\displaystyle \widehat{O_1}T_{01}'=2R'-r'$, másrészt $\displaystyle \widehat{O_1}T_{12}'=\sqrt 3R'$, ahol $\displaystyle r'$ és $\displaystyle R'$ rendre $\displaystyle k_0'$ és $\displaystyle k_4'$ sugarát jelöli. Innen $\displaystyle r'=\big(2-\sqrt 3\,\big) R'$ adódik, majd egyszerű számolással kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{A'B'}{B'D'}:\frac{A'C'}{C'D'}=\frac{R'-r'}{R'+r'}: \frac{R'+r'}{R'-r'}= \bigg(\frac {\sqrt 3 -1}{3-\sqrt 3} \bigg)^{\!\!2} =\frac13.$

Most alkalmazzuk a 2. segédállítást, amiből következik, hogy

$\displaystyle \tag{1} \frac{AB}{BD}:\frac{AC}{CD}=\frac13.$

Bevezetve a $\displaystyle d=UV$ jelölést a 2. ábra szerint $\displaystyle AB=d+R-r$, $\displaystyle BD=R+r-d$, $\displaystyle AC=R+r+d$ és $\displaystyle CD=R-r-d$. Ezt visszahelyettesítve (1)-be nyerjük, hogy

$\displaystyle \frac{R+d-r}{R+r-d}:\frac{R+r+d}{R-r-d}=\frac13,$

amiből a bizonyítandó $\displaystyle d^2=R^2-4Rr+r^2$ összefüggés egyszerű átszorzással következik.

Hátra van az $\displaystyle O=U$ eset vizsgálata. Ekkor $\displaystyle d=0$ és az inverzió előtti ábránk lényegében megegyezik a 3. ábrával, így $\displaystyle r= \big(2-\sqrt 3\,\big)R$, és $\displaystyle R^2-4Rr+r^2=0$ is azonnal következik. Ezzel azt az esetet beláttuk, amikor $\displaystyle k_0$ a középső kör.

4. ábra

Ha $\displaystyle k_0$ nem a középső az adott négy páronként érintő kör közül, akkor az állítás nem igaz, de nagyon hasonló formula teljesül. Ez az eset az előzőhöz analóg módon kezelhető, ezért csak vázlatosan ismertetjük a lépéseket. A megfelelő inverzió után ismét a 3. ábrát kapjuk, ezért (1) továbbra is érvényes. Azonban ez esetben a 4.ábra szerint

$\displaystyle AB=R+d+r, \quad BD=d+r-R,$

$\displaystyle AC=-r+d+R ~~\text{és}~~ CD=d-r-R.$

Ezt (1)-be visszaírva, rendezés után a $\displaystyle d^2= R^2+4Rr+r^2$ összefüggést kapjuk.

Statistics:

7 students sent a solution.
6 points:	Andi Gabriel Brojbeanu, Forrás Bence, Maga Balázs, Williams Kada.
5 points:	Machó Bónis.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014