A B. 4632. feladat (2014. május)

B. 4632. Két egyenes metszéspontja nem fért rá a papírlapra. Szerkesszük meg a papírlap egy adott pontján és a metszésponton átmenő egyenes papírlapra eső részét.

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az adott egyenes és a lap szélének a metszéspontjai legyenek $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$, a két egyenes metszéspontja $\displaystyle M$, az adott pont pedig $\displaystyle P$.

Alkalmazzunk az $\displaystyle ABCD$ négyszögre egy $\displaystyle P$ középpontú, $\displaystyle \frac{1}{2}$ arányú kicsinyítést. Ezt könnyen megtehetjük, hiszen az $\displaystyle AP$, $\displaystyle BP$, $\displaystyle CP$ és $\displaystyle DP$ szakaszok $\displaystyle A_{1}$, $\displaystyle B_{1}$, $\displaystyle C_{1}$ és $\displaystyle D_{1}$ felezőpontjai a papírra esnek. Az $\displaystyle A_{1}D_{1}$ és $\displaystyle B_{1}C_{1}$ egyenesek metszéspontja adja az $\displaystyle M$ pont képét, $\displaystyle M_{1}$-et, és $\displaystyle P$, $\displaystyle M_{1}$ és $\displaystyle M$ egy egyenesen vannak. Tehát, ha az $\displaystyle M_{1}$ pont a papírra esik, akkor a $\displaystyle PM_{1}=PM$ egyenes megszerkeszthető. Ha $\displaystyle M_{1}$ még nem esik a papírra, akkor folytathatjuk az eljárást az $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ négyszög $\displaystyle P$ pontra vonatkozó, $\displaystyle \frac{1}{2}$ arányú kicsinyítésével. Ha a keletkező $\displaystyle M_{2}$ pont sem esik a papírra, akkor az eljárást mindaddig folytatjuk, amíg az $\displaystyle M_{n}$ pont már a papírra fog esni. Ez véges lépésben elérhető. A keresett egyenes a $\displaystyle PM_{n}$ lesz.

Győrfy-Bátori András (Kaposvári Táncsics Mihály Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Csernák Tamás, Csilling Tamás, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Győrfi-Bátori András, Hansel Soma, Janzer Orsolya Lili, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Mándoki Sára, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Radnai Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Vu Mai Phuong, Williams Kada.
2 pontot kapott:	41 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai