A B. 4641. feladat (2014. május)

B. 4641. Az $\displaystyle S$ sík két részre vág egy szabályos oktaédert. Határozzuk meg a két rész térfogatának arányát, ha tudjuk, hogy $\displaystyle S$ szabályos hatszögben metszi az oktaédert.

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először megnézzük, hogy hányféleképpen lehet egy oktaédert szabályos hatszögben metszeni és ekkor mennyi az aránya a két résznek.

Ez a B.3741. feladat volt, melynek a megoldása is itt van: http://www.komal.hu/verseny/2004-05/B.h.shtml.

"Mivel a szabályos oktaéder csúcsai egy alkalmas kocka lapjainak középpontjai, könnyű látni, hogy az oktéder szemközti lapjai, melyek szabáyos háromszögek, egymással párhuzamosak. Azt sem nehéz megmutatni, hogy ha egy sík áthalad az oktéder egyik csúcsán, akkor a síkmetszetnek legfeljebb öt oldala lehet. Ha tehát egy sík szabályos hatszögben metszi az oktédert, akkor a hatszög hat csúcsa az oktéder hat különböző élének belső pontja lesz. Két szomszédos lap mindig ugyanakkora szöget zár be egymással, melynek nagysága $\displaystyle 2\arccos\sqrt{2/3}<120^{\circ}$. Ezért, ha a síkmetszet szabályos hatszög, akkor annak bármely $\displaystyle P$ csúcsára és az oktéder $\displaystyle P$-t tartalmazó e élére igaz lesz, hogy az hatszög $\displaystyle P$-ből induló oldalai az $\displaystyle e$ éllel mindig ugyanakkora $\displaystyle \beta<90^{\circ}$ szöget zárnak be. Minthogy pedig a hatszög minden egyes oldala az oktaéder valamely háromszöglapjának két oldalát köti össze, ez csak $\displaystyle \beta=60^{\circ}$ esetén lehetséges.

Helyezkedjen el a hatszög egyik oldala az oktéder $\displaystyle ABD$ lapján, az $\displaystyle AB$ éllel párhuzamosan. Az $\displaystyle AD$ élre eső csúcs legyen $\displaystyle H_1$, a $\displaystyle BD$ élre eső csúcs pedig $\displaystyle H_2$. A hatszög következő $\displaystyle H_3$ csúcsa a $\displaystyle BD$ élre illeszkedő $\displaystyle BDE$ lap $\displaystyle BE$ élén lesz úgy, hogy $\displaystyle H_2H_3$ a $\displaystyle DE$ éllel párhuzamos. Ha a $\displaystyle BE$ élre illeszkedő másik lap $\displaystyle BEC$, akkor a hatszög következő, $\displaystyle H_4$ csúcsa az $\displaystyle EC$ élre fog illeszkedni úgy, hogy $\displaystyle H_3H_4$ a $\displaystyle BC$ éllel párhuzamos. A $\displaystyle B$ csúcsból induló $\displaystyle BA$, $\displaystyle BD$, $\displaystyle BE$, $\displaystyle BC$ élek ilyen sorrendben követik egymást, a $\displaystyle BAC$ háromszög tehát az oktaéder egy olyan lapja, melyet a hatszög síkja elválaszt a $\displaystyle DE$ éltől. Mivel $\displaystyle H_1H_2$ párhuzamos az $\displaystyle AB$ éllel, $\displaystyle H_3H_4$ pedig a $\displaystyle BC$ éllel, a hatszög síkja az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ élekkel is párhuzamos, vagyis párhuzamos az $\displaystyle ABC$ lap síkjával. Továbbá ha $\displaystyle H_1H_2$ rövidebb (hosszabb) az oktéder élének felénél, akkor $\displaystyle H_2H_3$ hosszabb (rövidebb) lesz annál, a hatszög nem lehet szabályos.

Megállapíthatjuk tehát, hogy a síkmetszet csak akkor lehet szabályos hatszög, ha a sík párhuzamos az oktaéder két szemközti lapjával, és azok között, tőlük egyenlő távolságra heyezkedik el. Ilyen síkot négyet találunk, és ezek megfelelők is lesznek, hiszen a keletkező hatszög minden oldala ugyanolyan hosszú lesz, és minden szöge is ugyanakkora lesz."

Az utolsó sorokból megmondhatjuk, hogy csak akkor lehet szabályos hatszögben metszeni az oktaédert, ha az átmegy a szabályos oktaéder középpontján mivel párhuzamos az oktaéder 2 szemközti lapjával és mindekettőtől egyforma távolságra van. Ebben az esetben pedig ez a sík felezi az oktaédert a két rész térfogatának aránya 1:1, mind a 4 részben ugyanez igaz.

Hraboczki Attila Márton (Budapest, Szent István Gimn., 9. o. t.)

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ágoston Péter, Csépai András, Hraboczki Attila Márton, Maga Balázs, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Williams Kada.
5 pontot kapott:	Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Forrás Bence, Kúsz Ágnes.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai