A B. 4642. feladat (2014. szeptember)

B. 4642. Adott a síkban öt pont úgy, hogy közülük semelyik három nincs egy egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott háromszögek közül legfeljebb hét hegyesszögű.

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszunk ki a pontok közül négyet. Ezt $\displaystyle \binom{5}{4}=5$-féleképpen tehetjük meg. A kiválasztott pontok (amiket jelöljön $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$) vagy egy konvex-, vagy egy konkáv négyszög csúcsait adják meg.

Bármely négyszögben a belső szögek összege $\displaystyle 360^{\circ}$. Ha a négyszög konvex, akkor legnagyobb szöge legalább $\displaystyle \frac{360^{\circ}}4=90^{\circ}$. Ha ez pl. a $\displaystyle B$ csúcsnál van (1. ábra), akkor az öt pont által meghatározott háromszögek közül az $\displaystyle ABC$ biztosan nem hegyesszögű. Ha a négyszög konkáv, akkor feltehetjük, hogy a $\displaystyle B$-nél lévő belső szöge nagyobb mint $\displaystyle 180^{\circ}$ (2. ábra). Ezt a szöget a $\displaystyle BD$ átló két részre osztja, ha ezek közül pl. az $\displaystyle ABD\sphericalangle$ a nagyobb, akkor az $\displaystyle ABD$ háromszög tompaszögű.

1. ábra

2. ábra

Tehát bármely négy pontot is választjuk, az általuk meghatározott $\displaystyle {\binom{4}{3}=4}$ háromszög közül legalább az egyik nem hegyesszögű. Az öt kiválasztás közül bármelyik ponthármas pontosan kettőben szerepel együtt (az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ hármashoz vagy $\displaystyle D$-t, vagy az ötödik, $\displaystyle E$ pontot választhatjuk negyediknek), tehát egy adott nem hegyesszögű háromszöget legfeljebb két választásnál számolunk. Vagyis az öt pont által meghatározott nem hegyesszögű háromszögek száma legalább $\displaystyle 5/2=2{,}5$. De mivel ez a szám nyilván egész, ebből az is következik, hogy legalább $\displaystyle 3$.

Tehát az öt pont által meghatározott $\displaystyle 10$ háromszög között legfeljebb $\displaystyle 10-3=7$ hegyesszögű van.

Varga-Umbrich Eszter (Pápa, Pápai Ref. Koll. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

172 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	95 versenyző.
3 pontot kapott:	24 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai