 |
A B. 4642. feladat (2014. szeptember) |
B. 4642. Adott a síkban öt pont úgy, hogy közülük semelyik három nincs egy egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott háromszögek közül legfeljebb hét hegyesszögű.
(4 pont)
A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Válasszunk ki a pontok közül négyet. Ezt \(\displaystyle \binom{5}{4}=5\)-féleképpen tehetjük meg. A kiválasztott pontok (amiket jelöljön \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\)) vagy egy konvex-, vagy egy konkáv négyszög csúcsait adják meg.
Bármely négyszögben a belső szögek összege \(\displaystyle 360^{\circ}\). Ha a négyszög konvex, akkor legnagyobb szöge legalább \(\displaystyle \frac{360^{\circ}}4=90^{\circ}\). Ha ez pl. a \(\displaystyle B\) csúcsnál van (1. ábra), akkor az öt pont által meghatározott háromszögek közül az \(\displaystyle ABC\) biztosan nem hegyesszögű. Ha a négyszög konkáv, akkor feltehetjük, hogy a \(\displaystyle B\)-nél lévő belső szöge nagyobb mint \(\displaystyle 180^{\circ}\) (2. ábra). Ezt a szöget a \(\displaystyle BD\) átló két részre osztja, ha ezek közül pl. az \(\displaystyle ABD\sphericalangle\) a nagyobb, akkor az \(\displaystyle ABD\) háromszög tompaszögű.
1. ábra
2. ábra
Tehát bármely négy pontot is választjuk, az általuk meghatározott \(\displaystyle {\binom{4}{3}=4}\) háromszög közül legalább az egyik nem hegyesszögű. Az öt kiválasztás közül bármelyik ponthármas pontosan kettőben szerepel együtt (az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) hármashoz vagy \(\displaystyle D\)-t, vagy az ötödik, \(\displaystyle E\) pontot választhatjuk negyediknek), tehát egy adott nem hegyesszögű háromszöget legfeljebb két választásnál számolunk. Vagyis az öt pont által meghatározott nem hegyesszögű háromszögek száma legalább \(\displaystyle 5/2=2{,}5\). De mivel ez a szám nyilván egész, ebből az is következik, hogy legalább \(\displaystyle 3\).
Tehát az öt pont által meghatározott \(\displaystyle 10\) háromszög között legfeljebb \(\displaystyle 10-3=7\) hegyesszögű van.
Varga-Umbrich Eszter (Pápa, Pápai Ref. Koll. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján
Statisztika:
172 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 95 versenyző. 3 pontot kapott: 24 versenyző. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 16 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző.
A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai