A B. 4643. feladat (2014. szeptember)

B. 4643. Léteznek-e olyan $\displaystyle n$ és $\displaystyle k$ egész számok, amelyekre

$\displaystyle n^3-n-1=k^2-k+1?$

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn.)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg a két oldal 3-mal való lehetséges  osztási maradékait.

A bal oldal: $\displaystyle n^{3}-n-1=n \big(n^{2}-1\big)-1= (n-1)n (n+1)-1$. Látható, hogy a kapott különbség első tagja mindig osztható 3-mal, hiszen 3 egymást követő egész szám szorzata. Ebből a szorzatból még kivonunk 1-et, tehát a bal oldal 3-mal osztva (minden $\displaystyle n$ egészre) 2-t ad maradékul.

A jobb oldal: $\displaystyle k^{2}-k+1=k (k-1)+1$. Mivel $\displaystyle k$ egész, az összeg első tagja csak $\displaystyle k=3l+2$ (ahol $\displaystyle l$ egész) esetén lesz 3-mal nem osztható. Ha 3-mal osztható az első tag, akkor a jobb oldal 3-mal osztva 1-et ad maradékul, ami kizárja az egyenlőség lehetőségét a bal oldallal. A továbbiakban tehát csak $\displaystyle k=3l+2$ alakú számok esetén vizsgáljuk a jobb oldalt. Ekkor

$\displaystyle k^{2}-k+1= {(3l+2)}^{2}- (3l+2)+1=9l^{2}+9l+3=3\cdot \big(3l^{2}+3l+1\big),$

tehát a jobb oldal osztható 3-mal.

Vagyis beláttuk, hogy a bal oldal mindig 2-t, a jobb oldal pedig 1-et vagy 0-t ad osztási maradékul a 3-mal való osztásnál. Ezzel bebizonyítottuk, hogy nem léteznek olyan $\displaystyle n$ és $\displaystyle k$ egész számok, amelyekre teljesülne az egyenlet.

Kovács Dávid (Veszprém, Lovassy László Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

292 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	239 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai