A B. 4645. feladat (2014. szeptember)

B. 4645. Tetszőleges $\displaystyle n$ és $\displaystyle k$ pozitív egészekre legyen

$\displaystyle H_{1}=\{1, 3, 5, \ldots, 2n-1\} \quad\text{és}\quad H_{2}=\{1+k, 3+k, 5+k, \ldots, 2n-1+k\}.$

Létezik-e minden $\displaystyle n$-hez olyan $\displaystyle k$, hogy a $\displaystyle H_{1}\cup H_{2}$ halmaz összes elemének szorzata négyzetszám legyen?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a $\displaystyle H_{1}\cup H_{2}$ halmaz összes elemének szorzatát $\displaystyle A$-val. Az a sejtés, hogy $\displaystyle k=2n+1$ minden $\displaystyle n$-re megfelelő választás. Ezt teljes indukcióval igazoljuk. Adott $\displaystyle n$ esetén jelölje $\displaystyle k_n$ és $\displaystyle A_n$ a megfelelő $\displaystyle k$, illetve $\displaystyle A$ értéket.

$\displaystyle i)$ $\displaystyle n=1$-re $\displaystyle k_{1}=3$, $\displaystyle H_{1}=\{1\}$, $\displaystyle H_{2}=\{4\}$. Látható, hogy

$\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=\{1, 4\}, \text{ így } A_{1}=1\cdot 4, \text{ ami négyzetszám.}$

$\displaystyle ii)$ Az indukciós feltevés alapján

$\displaystyle A_{n} =1\cdot 3\cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\cdot (1+k)(3+k) \cdot \ldots \cdot (2n-1+k)=$

$\displaystyle =1\cdot 3\cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\cdot (1+2n+1)(3+2n+1) \cdot\ldots \cdot (2n-1+2n+1)=$

$\displaystyle =1\cdot 3\cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\cdot (2n+2)(2n+4) \cdot \ldots \cdot (4n)$

négyzetszám.

$\displaystyle iii)$ Most igazoljuk az állítást $\displaystyle n+1$-re. A $\displaystyle k_{n+1}=2n+3$ beírásával

$\displaystyle A_{n+1} = 1\cdot 3\cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\cdot (2n+1)(1+2n+3)(3+2n+3) \cdot\ldots \cdot{}$

$\displaystyle {} \cdot (2n-1+2n+3)(2n+1+2n+3)=$

$\displaystyle = 1\cdot 3\cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)\cdot (2n+1)(2n+4)(2n+6) \cdot\ldots \cdot (4n+2)(4n+4)=$

$\displaystyle =\frac{A_{n}}{2n+2}(2n+1)(4n+2)(4n+4)=\frac{A_{n}}{2n+2}(2n+1)2(2n+1)2(2n+2)=$

$\displaystyle = A_{n}\cdot 4\cdot {(2n+1)}^{2}.$

Az indukciós feltevés szerint $\displaystyle A_{n}$ négyzetszám, így $\displaystyle A_{n+1}$ is az. Tehát létezik minden $\displaystyle n$-hez alkalmas $\displaystyle k$, nevezetesen $\displaystyle k=2n+1$.

Gál Boglárka (Lovassy László Gimn., Veszprém, 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	98 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai