 |
A B. 4646. feladat (2014. szeptember) |
B. 4646. A \(\displaystyle p\) paraméter mely értékei esetén áll fenn az
\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{\sin x}\right)^{3} \ge \frac{p}{\mathop{\rm tg}^2 x} \)
egyenlőtlenség bármely \(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\) esetén?
Javasolta: Faragó András
(4 pont)
A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlőtlenség bal oldala és a jobb oldal nevezője mindig pozitív, ezért az egyenlőtlenség biztosan teljesül, ha \(\displaystyle p\) értéke negatív vagy nulla. A továbbiakban \(\displaystyle p\) pozitív értékeit vizsgáljuk.
Szorozzunk a pozitív \(\displaystyle \sin^3x\)-szel, és használjuk az
\(\displaystyle \frac{1}{\tg^2 x}=\frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{\sin^2x} \)
azonosságot:
\(\displaystyle {(1+\sin x)}^3 \ge p \sin x (1-\sin x)(1+\sin x), \)
illetve
\(\displaystyle {(1+\sin x)}^2 \ge p \sin x (1-\sin x). \)
Rendezés után a következő másodfokú egyenlőtlenséget kapjuk \(\displaystyle \sin x\)-re:
\(\displaystyle (1+p)\sin x^2 + (2-p)\sin x + 1 \ge 0. \)
Itt \(\displaystyle p \le 2\) esetén a bal oldal minden tagja nemnegatív, ezért az egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül.
Ha \(\displaystyle p>2\), akkor abban az esetben, amikor az \(\displaystyle (1+p)y^2 + (2-p)y + 1 = 0\) egyenletnek valósak a gyökei, a gyökök összege \(\displaystyle p-2>0\), szorzatuk pedig az ugyancsak pozitív \(\displaystyle \frac{1}{1+p} < \frac{1}{3}\). Ilyenkor tehát mindkét gyök pozitív és legalább egyikük kisebb 1-nél, ezért - alkalmas \(\displaystyle x\)-re - előáll \(\displaystyle \sin x\) alakban. Ha a két valós gyök különböző, akkor mindkettőnek van olyan környezete, ahol a másodfokú kifejezés értéke negatív. Az egyenlőtlenség tehát a \(\displaystyle p>2\) esetben pontosan akkor teljesül, ha a diszkrimináns nem pozitív:
\(\displaystyle 0 \ge {(2-p)}^2 - 4(1+p) = p^2 -8p = p(p-8), \)
vagyis ha \(\displaystyle p \le 8\).
Tehát a feladat feltételének a \(\displaystyle p \le 8\) számok tesznek eleget.
Zsakó Ágnes (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn., 11. évf.)
Statisztika:
106 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Barabás Ábel, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Döbröntei Dávid Bence, Fehér Balázs, Fekete Panna, Gál Boglárka, Gáspár Attila, Geng Máté, Gera Dóra, Gróf Tamás, Kátay Tamás, Kerekes Anna, Kosztolányi Kata, Kovács 101 Dávid Péter, Mályusz Attila, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Gergely, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Öreg Botond, Páli Petra, Papp 893 Marcell, Polgár Márton, Porupsánszki István, Regős Krisztina, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Somogyi Pál, Stein Ármin, Szabó 524 Tímea, Szakács Lili Kata, Szebellédi Márton, Széles Katalin, Szőke Tamás, Tomcsányi Gergely, Tompa Tamás Lajos, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Varga-Umbrich Eszter, Wiandt Péter, Williams Kada, Zsakó Ágnes. 3 pontot kapott: 26 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 7 dolgozat.
A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai