A B. 4647. feladat (2014. szeptember)

B. 4647. Tegyük föl, hogy 100 zárt egységkör együttesen lefed egy tőlük különböző 101-ediket. Mutassuk meg, hogy a 100 közül valamelyik lefedi egy másiknak a legfelső (legnagyobb ordinátájú) pontját.

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a lefedett kör \(\displaystyle k\), középpontja \(\displaystyle O\), a legalsó pontja \(\displaystyle A\). Az \(\displaystyle A\) pontot lefedi egy kör, ez legyen a \(\displaystyle k_{1}\), ennek a középpontja legyen \(\displaystyle O_{1}\) és a legfelső pontja \(\displaystyle F\).

\(\displaystyle OA\parallel {FO}_{1}\) és \(\displaystyle OA={FO}_{1}=1\), ezért az \(\displaystyle AO{FO}_{1}\) négyszög paralelogramma. Jelöljük az \(\displaystyle {AO}_{1}\) szakasz hosszát \(\displaystyle x\)-szel. A \(\displaystyle k_{1}\) kör lefedi az \(\displaystyle A\) pontot, ezért \(\displaystyle x\le 1\). Így \(\displaystyle OF=x\le 1\), tehát a \(\displaystyle k\) kör lefedi \(\displaystyle F\)-et.

Jelölje az \(\displaystyle F\)-hez legközelebbi kör középpontját \(\displaystyle O_{2}\), és legyen \(\displaystyle {FO}_{2}=d\).

Ha \(\displaystyle d\le 1\), akkor \(\displaystyle F\) le van fedve. A továbbiakban legyen \(\displaystyle d>1\).

Ha \(\displaystyle x<1\), akkor rajzoljunk egy \(\displaystyle F\) középpontú, \(\displaystyle \varrho =\min (1-x,d-1)\) sugarú kört, legyen ez \(\displaystyle k_{3}\) (1. ábra). Mivel \(\displaystyle d>1\), így \(\displaystyle k_{3}\) egyetlen belső pontját sem fedi le \(\displaystyle k_{1}\)-től különböző kör a 100 kör közül, és a \(\displaystyle k_{1}\) nem fedi le az egészet, így \(\displaystyle k_{3}\) nincs teljesen lefedve. Mivel \(\displaystyle k_{3}\subset k\), így \(\displaystyle k\) sincs teljesen lefedve. Ez ellentmondás, tehát ez az eset nem jöhet létre.

1. ábra

Ha \(\displaystyle x=1\), akkor \(\displaystyle k\) áthalad az \(\displaystyle F\) ponton. Rajzoljunk egy \(\displaystyle F\) középpontú, \(\displaystyle \varrho =d-1\) sugarú kört, legyen ez \(\displaystyle k_{3}\) (2. ábra). Mivel \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k_{1}\) egybevágó, de különböző körök, így \(\displaystyle k_{3}\)-on belüli részeik is egybevágóak, de különbözőek. Így \(\displaystyle k\)-nak lesz olyan \(\displaystyle k_{3}\)-on belüli pontja, amit nem fed le a \(\displaystyle k_{1}\) és a többi kör sem, mert \(\displaystyle k_{2}\) a legközelebbi kör. Ez is ellentmondás, tehát ez az eset sem lehetséges.

2. ábra

Vagyis \(\displaystyle d\) sosem nagyobb 1-nél.

Tehát a lefedett kör legalsó pontját lefedő kör legfelső pontja mindig le van fedve.

Tomcsányi Gergely (Vác, Boronkay György Műszaki Szki. és Gimn., 11. évf.) megoldása alapján

Statisztika:

51 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balog Gergely, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Czirkos Angéla, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horváth Miklós Zsigmond, Imolay András, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kerekes Anna, Kovács 972 Márton, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Németh 123 Balázs, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simon Dániel Gábor, Szakács Lili Kata, Szebellédi Márton, Szécsi Adél Lilla, Szőke Tamás, Tomcsányi Gergely, Tóth Viktor, Váli Benedek, Várkonyi Dorka, Williams Kada, Záhorský Ákos.
5 pontot kapott:	Coulibaly Patrik, Gera Dóra, Gergely Patrik, Horeftos Leon, Nagy Gergely, Porupsánszki István, Vajda Alexandra.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai