A B. 4648. feladat (2014. szeptember)

B. 4648. Egy egyenlő oldalú tetraéder élei 13, \(\displaystyle \textstyle \sqrt{281}\) és \(\displaystyle 20\) egység hosszúságúak. Határozzuk meg két lapjának a hajlásszögét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlő oldalú tetraéder szemközti élei egyenlő hosszúak, így a bennfoglaló paralelepipedon lapjain az átlók egyenlők, vagyis a paralelogramma lapok téglalapok, a bennfoglaló paralelepipedon téglatest. A tetraéder élei a bennfoglaló téglatest lapátlói, így a téglatest élei Pitagorasz-tételek segítségével számolhatók:

\(\displaystyle a^{2}+b^{2}=281,\qquad b^{2}+c^{2}=169,\qquad c^{2}+a^{2}=400. \)

Az egyenletrendszer megoldása \(\displaystyle a=16\), \(\displaystyle b=5\), \(\displaystyle c=12\). Helyezzük el a tetraédert célszerűen a koordináta-rendszerben:

\(\displaystyle A(0, 0, 0), \quad B(16, 5, 0), \quad C(16, 0, 12), \quad D(0, 5, 12). \)

Mivel két-két-két él megegyezik, ezért három különböző hajlásszög van. Legyenek az \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle ACD\), az \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle ABD\), valamint az \(\displaystyle ACD\), \(\displaystyle ABD\) síkok által meghatározott hajlásszögek rendre \(\displaystyle \varphi_{1}\), \(\displaystyle \varphi_{2}\), \(\displaystyle \varphi_{3}\). Az \(\displaystyle ABC\) sík esetében az \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\) vektorok mindegyikére merőleges \(\displaystyle \underline{n}(U, V, 1)\) vektor lesz a sík normálvektora. Ez mindkét, nem párhuzamos vektorra merőleges:

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \underline{n} =16U+5V=0,\)

\(\displaystyle \overrightarrow{AC} \cdot \underline{n} =16U+12=0.\)

Ebből az egyenletrendszerből \(\displaystyle \underline{n} \Big(-\frac{3}{4}, \frac{12}{5},1\Big)\), illetve az ezzel párhuzamos \(\displaystyle \underline{n}_{ABC}(15, -48, -20)\). Az \(\displaystyle A\) ponton átmenő \(\displaystyle ABC\) sík egyenlete ez alapján

\(\displaystyle 15x-48y-20z=0. \)

Hasonló számolással az \(\displaystyle ACD\) sík egyenlete

\(\displaystyle -15x-48y+20z=0. \)

A két sík normálvektora

\(\displaystyle \underline{n}_{ABC}(15, -48, -20), \quad \underline{n}_{ACD}(-15, -48, 20). \)

Mivel a normálvektorok merőlegesek a megfelelő síkra, illetve - jelen esetben - a szögtartománnyal ellentétes irányba mutatnak, ha skalárszorzatukat vesszük, megkapjuk az általunk keresett \(\displaystyle \varphi_{1}\) hajlásszög kiegészítő szögét. Tehát

\(\displaystyle \underline{n}_{ABC}\cdot \underline{n}_{ACD}= |\underline{n}_{ABC}| \cdot |\underline{n}_{ACD}| \cdot \cos (180^{\circ}-\varphi_{1}). \)

Ebből

\(\displaystyle \cos\varphi_{1} =-\frac{-15^{2}+48^{2}-20^{2}}{15^{2}+48^{2}+20^{2}}=-\frac{1679}{2929},\qquad \varphi_{1} \approx 124{,}98^{\circ}. \)

A további szögek meghatározásához az \(\displaystyle ABD\) sík normálvektora

\(\displaystyle \underline{n}_{ABD}(15, -48, 20). \)

Az előzőhöz teljesen hasonló számítással, figyelembe véve a skaláris szorzat felírásánál, hogy a tetraéder belseje felé, vagy ellentétes irányba mutatnak a normálvektorok, megkapjuk, hogy

\(\displaystyle \varphi_{2}=\arccos\frac{2129}{2929}\approx 43{,}38^{\circ}, \quad\text{illetve}\quad \varphi_{3}=\arccos\frac{2479}{2929}\approx 32{,}18^{\circ}. \)

Vághy Mihály (Budapest, Németh László Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

83 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Cseh Kristóf, Fekete Panna, Kerekes Anna, Kosztolányi Kata, Kovács Balázs Marcell, Polgár Márton, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Tihanyi Áron, Vághy Mihály, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Bálint Gergely , Bereczki Zoltán, Coulibaly Patrik, Csatári Jakab, Csépai András, Czirkos Angéla, Döbröntei Dávid Bence, Gál Boglárka, Hansel Soma, Heinc Emília, Kátay Tamás, Khayouti Sára, Kovács Péter Tamás, Lajkó Kálmán, Molnár-Sáska Zoltán, Porupsánszki István, Regős Krisztina, Sándor Gergely, Szabó 524 Tímea, Széles Katalin, Telek Máté László, Varga Rudolf, Zsakó Ágnes.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai