A B. 4648. feladat (2014. szeptember)

B. 4648. Egy egyenlő oldalú tetraéder élei 13, $\displaystyle \textstyle \sqrt{281}$ és $\displaystyle 20$ egység hosszúságúak. Határozzuk meg két lapjának a hajlásszögét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlő oldalú tetraéder szemközti élei egyenlő hosszúak, így a bennfoglaló paralelepipedon lapjain az átlók egyenlők, vagyis a paralelogramma lapok téglalapok, a bennfoglaló paralelepipedon téglatest. A tetraéder élei a bennfoglaló téglatest lapátlói, így a téglatest élei Pitagorasz-tételek segítségével számolhatók:

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=281,\qquad b^{2}+c^{2}=169,\qquad c^{2}+a^{2}=400.$

Az egyenletrendszer megoldása $\displaystyle a=16$, $\displaystyle b=5$, $\displaystyle c=12$. Helyezzük el a tetraédert célszerűen a koordináta-rendszerben:

$\displaystyle A(0, 0, 0), \quad B(16, 5, 0), \quad C(16, 0, 12), \quad D(0, 5, 12).$

Mivel két-két-két él megegyezik, ezért három különböző hajlásszög van. Legyenek az $\displaystyle ABC$, $\displaystyle ACD$, az $\displaystyle ABC$, $\displaystyle ABD$, valamint az $\displaystyle ACD$, $\displaystyle ABD$ síkok által meghatározott hajlásszögek rendre $\displaystyle \varphi_{1}$, $\displaystyle \varphi_{2}$, $\displaystyle \varphi_{3}$. Az $\displaystyle ABC$ sík esetében az $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ és $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ vektorok mindegyikére merőleges $\displaystyle \underline{n}(U, V, 1)$ vektor lesz a sík normálvektora. Ez mindkét, nem párhuzamos vektorra merőleges:

$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \underline{n} =16U+5V=0,$

$\displaystyle \overrightarrow{AC} \cdot \underline{n} =16U+12=0.$

Ebből az egyenletrendszerből $\displaystyle \underline{n} \Big(-\frac{3}{4}, \frac{12}{5},1\Big)$, illetve az ezzel párhuzamos $\displaystyle \underline{n}_{ABC}(15, -48, -20)$. Az $\displaystyle A$ ponton átmenő $\displaystyle ABC$ sík egyenlete ez alapján

$\displaystyle 15x-48y-20z=0.$

Hasonló számolással az $\displaystyle ACD$ sík egyenlete

$\displaystyle -15x-48y+20z=0.$

A két sík normálvektora

$\displaystyle \underline{n}_{ABC}(15, -48, -20), \quad \underline{n}_{ACD}(-15, -48, 20).$

Mivel a normálvektorok merőlegesek a megfelelő síkra, illetve - jelen esetben - a szögtartománnyal ellentétes irányba mutatnak, ha skalárszorzatukat vesszük, megkapjuk az általunk keresett $\displaystyle \varphi_{1}$ hajlásszög kiegészítő szögét. Tehát

$\displaystyle \underline{n}_{ABC}\cdot \underline{n}_{ACD}= |\underline{n}_{ABC}| \cdot |\underline{n}_{ACD}| \cdot \cos (180^{\circ}-\varphi_{1}).$

Ebből

$\displaystyle \cos\varphi_{1} =-\frac{-15^{2}+48^{2}-20^{2}}{15^{2}+48^{2}+20^{2}}=-\frac{1679}{2929},\qquad \varphi_{1} \approx 124{,}98^{\circ}.$

A további szögek meghatározásához az $\displaystyle ABD$ sík normálvektora

$\displaystyle \underline{n}_{ABD}(15, -48, 20).$

Az előzőhöz teljesen hasonló számítással, figyelembe véve a skaláris szorzat felírásánál, hogy a tetraéder belseje felé, vagy ellentétes irányba mutatnak a normálvektorok, megkapjuk, hogy

$\displaystyle \varphi_{2}=\arccos\frac{2129}{2929}\approx 43{,}38^{\circ}, \quad\text{illetve}\quad \varphi_{3}=\arccos\frac{2479}{2929}\approx 32{,}18^{\circ}.$

Vághy Mihály (Budapest, Németh László Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

83 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Cseh Kristóf, Fekete Panna, Kerekes Anna, Kosztolányi Kata, Kovács Balázs Marcell, Polgár Márton, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Tihanyi Áron, Vághy Mihály, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Bálint Gergely , Bereczki Zoltán, Coulibaly Patrik, Csatári Jakab, Csépai András, Czirkos Angéla, Döbröntei Dávid Bence, Gál Boglárka, Hansel Soma, Heinc Emília, Kátay Tamás, Khayouti Sára, Kovács Péter Tamás, Lajkó Kálmán, Molnár-Sáska Zoltán, Porupsánszki István, Regős Krisztina, Sándor Gergely, Szabó 524 Tímea, Széles Katalin, Telek Máté László, Varga Rudolf, Zsakó Ágnes.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai