A B. 4651. feladat (2014. október)

B. 4651. Az $\displaystyle n$ pozitív egész számot egzotikusnak nevezzük, ha osztható a pozitív osztóinak számával. Bizonyítsuk be a következő állításokat:

$\displaystyle a)$ Ha egy egzotikus szám páratlan, akkor ez a szám négyzetszám.

$\displaystyle b)$ Végtelen sok egzotikus szám van.

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \dots\cdot p_\ell^{k_\ell}$ prímtényezős felbontású pozitív egész szám pozitív osztóinak száma

$\displaystyle d(n)=(k_{1}+1)(k_{2}+1) \ldots (k_\ell+1)=\prod_{i=1}^\ell (k_i+1).$

$\displaystyle a)$ Ha az egzotikus szám páratlan, akkor minden osztója is csak páratlan lehet, tehát az osztók száma is páratlan. A fentiek alapján az osztók számát úgy kaptuk, hogy mindegyik prímkitevőhöz egyet adtunk és ezeket összeszoroztuk. Látjuk, hogy $\displaystyle k_i+1$ minden $\displaystyle i=1,2,\dots,\ell$ esetén páratlan szám, vagyis minden $\displaystyle k_i$ páros. Az $\displaystyle n$ szám mindegyik prímtényezőjének kitevője páros, az $\displaystyle n$ négyzetszám.

$\displaystyle b)$ Tekintsük az  $\displaystyle n=p^{p-1}$ alakú pozitív egészeket, ahol $\displaystyle p$ páratan prímszám. Mivel a prímszámok száma végtelen, ezekből a számokból végtelen sok van. Az ilyen alakú számok osztóinak száma $\displaystyle d(n)=p-1+1=p$, tehát $\displaystyle d(n)\mid n$. Ezzel végtelen sok egzotikus számot találtunk.

Kocsis Júlia (Dunakeszi, Radnóti Miklós Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés: A feladat $\displaystyle b)$ kérdésére bár a legtöbben a fenti konstrukciót választották, további érdekes egzotikus számokat is mutattak a versenyzők. A teljesség igénye nélkül ezek közül néhány:

$\displaystyle 3^{2}\cdot p^{2},\quad 2^{3}\cdot p, \quad 2^{2^{m}-1}.$

Statisztika:

264 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	197 versenyző.
2 pontot kapott:	55 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai