 |
A B. 4651. feladat (2014. október) |
B. 4651. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész számot egzotikusnak nevezzük, ha osztható a pozitív osztóinak számával. Bizonyítsuk be a következő állításokat:
\(\displaystyle a)\) Ha egy egzotikus szám páratlan, akkor ez a szám négyzetszám.
\(\displaystyle b)\) Végtelen sok egzotikus szám van.
(3 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \dots\cdot p_\ell^{k_\ell}\) prímtényezős felbontású pozitív egész szám pozitív osztóinak száma
\(\displaystyle d(n)=(k_{1}+1)(k_{2}+1) \ldots (k_\ell+1)=\prod_{i=1}^\ell (k_i+1). \)
\(\displaystyle a)\) Ha az egzotikus szám páratlan, akkor minden osztója is csak páratlan lehet, tehát az osztók száma is páratlan. A fentiek alapján az osztók számát úgy kaptuk, hogy mindegyik prímkitevőhöz egyet adtunk és ezeket összeszoroztuk. Látjuk, hogy \(\displaystyle k_i+1\) minden \(\displaystyle i=1,2,\dots,\ell\) esetén páratlan szám, vagyis minden \(\displaystyle k_i\) páros. Az \(\displaystyle n\) szám mindegyik prímtényezőjének kitevője páros, az \(\displaystyle n\) négyzetszám.
\(\displaystyle b)\) Tekintsük az \(\displaystyle n=p^{p-1}\) alakú pozitív egészeket, ahol \(\displaystyle p\) páratan prímszám. Mivel a prímszámok száma végtelen, ezekből a számokból végtelen sok van. Az ilyen alakú számok osztóinak száma \(\displaystyle d(n)=p-1+1=p\), tehát \(\displaystyle d(n)\mid n\). Ezzel végtelen sok egzotikus számot találtunk.
Kocsis Júlia (Dunakeszi, Radnóti Miklós Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján
Megjegyzés: A feladat \(\displaystyle b)\) kérdésére bár a legtöbben a fenti konstrukciót választották, további érdekes egzotikus számokat is mutattak a versenyzők. A teljesség igénye nélkül ezek közül néhány:
\(\displaystyle 3^{2}\cdot p^{2},\quad 2^{3}\cdot p, \quad 2^{2^{m}-1}. \)
Statisztika:
264 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 197 versenyző. 2 pontot kapott: 55 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai