 |
A B. 4652. feladat (2014. október) |
B. 4652. Egy háromszög szögei α, β és γ. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyet a körülírt körhöz a csúcsokban húzott érintők alkotnak?
(3 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait a szokásos módon A, B, C-vel. Ha a háromszög derékszögű, pl. γ=90∘, akkor AB a körülírt kör átmérője, ezért a körülírt körhöz az A-ban és B-ben húzott érintők párhuzamosak (1. ábra), tehát ebben az esetben az érintők nem alkotnak háromszöget. A továbbiakban feltesszük, hogy az ABC háromszög nem derékszögű. Legyenek a körülírt körhöz a csúcsokban húzott érintők által alkotott háromszög csúcsai A′, B′ és C′, a körülírt kör középpontja pedig K. A kerületi és középponti szögek közti összefüggés alapján a körülírt kör A-t nem tartalmazó BC ívéhez tartozó középponti szög 2α, a B-t nem tartalmazó CA ívéhez tartozó középponti szög 2β, a C-t nem tartalmazó AB ívéhez tartozó középponti szög pedig 2γ. A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, ezért KA⊥B′C′, KB⊥C′A′ és KC⊥A′B′. A továbbiakban megkülönböztetjük a hegyesszögű és a tompaszögű háromszög esetét.
1. ábra
Ha ABC hegyesszögű (2. ábra), akkor a körülírt köre az A′B′C′ háromszögnek beírt köre. A KAC′B, KBA′C és KCB′A négyszögek húrnégyszögek, mert két-két szemközti szögük derékszög. A keresett szögek éppen ezen húrnégyszögek K-val szemközti szögei. Bármely húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180∘, ezért ebben az esetben az A′B′C′ háromszög szögei 180∘−2α, 180∘−2β és 180∘−2γ.
2. ábra
Ha ABC tompaszögű, akkor feltehetjük, hogy α>90∘ (3. ábra). Ekkor az ABC háromszög körülírt köre az A′B′C′ háromszögnek a B′C′ oldalához hozzáírt köre. Ebben az esetben a KAC′B, KAB′C és KCA′B négyszögek húrnégyszögek, mert két-két szemközti szögük derékszög. A keresett szögek most a KCA′B húrnégyszög K-val szemközti szöge, valamint a KAB′C és KAC′B húrnégyszögek K-val szemközti csúcsnál lévő külső szögei. Bármely húrnégyszögben a szemközti csúcsnál lévő külső szög megegyezik az eredeti csúcsnál lévő belső szöggel, ezért ebben az esetben az A′B′C′ háromszög szögei 180∘−(360∘−2α)=2α−180∘, 2γ és 2β.
3. ábra
Kosztolányi Kata (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn., 10. évf.) dolgozatát felhasználva
Megjegyzés. Nagyon sok megoldó (több, mint 60%) elfelejtkezett a nem hegyesszögű háromszögek vizsgálatáról. Pedig illett volna gyanút fogniuk akkor, amikor leírták, hogy a keresett szög pl. 180∘−2α, ami ugye α>90∘, azaz tompaszögű háromszög esetén negatív.
Statisztika:
269 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 86 versenyző. 2 pontot kapott: 152 versenyző. 1 pontot kapott: 21 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai
|
|