 |
A B. 4652. feladat (2014. október) |
B. 4652. Egy háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\). Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyet a körülírt körhöz a csúcsokban húzott érintők alkotnak?
(3 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait a szokásos módon \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\)-vel. Ha a háromszög derékszögű, pl. \(\displaystyle \gamma =90^{\circ}\), akkor \(\displaystyle AB\) a körülírt kör átmérője, ezért a körülírt körhöz az \(\displaystyle A\)-ban és \(\displaystyle B\)-ben húzott érintők párhuzamosak (1. ábra), tehát ebben az esetben az érintők nem alkotnak háromszöget. A továbbiakban feltesszük, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög nem derékszögű. Legyenek a körülírt körhöz a csúcsokban húzott érintők által alkotott háromszög csúcsai \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\), a körülírt kör középpontja pedig \(\displaystyle K\). A kerületi és középponti szögek közti összefüggés alapján a körülírt kör \(\displaystyle A\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle BC\) ívéhez tartozó középponti szög \(\displaystyle 2\alpha\), a \(\displaystyle B\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle CA\) ívéhez tartozó középponti szög \(\displaystyle 2\beta\), a \(\displaystyle C\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AB\) ívéhez tartozó középponti szög pedig \(\displaystyle 2\gamma\). A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, ezért \(\displaystyle KA\perp B'C'\), \(\displaystyle KB\perp C'A'\) és \(\displaystyle KC\perp A'B'\). A továbbiakban megkülönböztetjük a hegyesszögű és a tompaszögű háromszög esetét.
1. ábra
Ha \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű (2. ábra), akkor a körülírt köre az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszögnek beírt köre. A \(\displaystyle KAC'B\), \(\displaystyle KBA'C\) és \(\displaystyle KCB'A\) négyszögek húrnégyszögek, mert két-két szemközti szögük derékszög. A keresett szögek éppen ezen húrnégyszögek \(\displaystyle K\)-val szemközti szögei. Bármely húrnégyszögben a szemközti szögek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), ezért ebben az esetben az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög szögei \(\displaystyle 180^{\circ}-2\alpha\), \(\displaystyle 180^{\circ}-2\beta\) és \(\displaystyle 180^{\circ}-2\gamma\).
2. ábra
Ha \(\displaystyle ABC\) tompaszögű, akkor feltehetjük, hogy \(\displaystyle \alpha >90^{\circ}\) (3. ábra). Ekkor az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszögnek a \(\displaystyle B'C'\) oldalához hozzáírt köre. Ebben az esetben a \(\displaystyle KAC'B\), \(\displaystyle KAB'C\) és \(\displaystyle KCA'B\) négyszögek húrnégyszögek, mert két-két szemközti szögük derékszög. A keresett szögek most a \(\displaystyle KCA'B\) húrnégyszög \(\displaystyle K\)-val szemközti szöge, valamint a \(\displaystyle KAB'C\) és \(\displaystyle KAC'B\) húrnégyszögek \(\displaystyle K\)-val szemközti csúcsnál lévő külső szögei. Bármely húrnégyszögben a szemközti csúcsnál lévő külső szög megegyezik az eredeti csúcsnál lévő belső szöggel, ezért ebben az esetben az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög szögei \(\displaystyle 180^{\circ}-(360^{\circ} - 2\alpha)=2\alpha - 180^{\circ}\), \(\displaystyle 2\gamma\) és \(\displaystyle 2\beta\).
3. ábra
Kosztolányi Kata (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn., 10. évf.) dolgozatát felhasználva
Megjegyzés. Nagyon sok megoldó (több, mint 60%) elfelejtkezett a nem hegyesszögű háromszögek vizsgálatáról. Pedig illett volna gyanút fogniuk akkor, amikor leírták, hogy a keresett szög pl. \(\displaystyle 180^{\circ}-2\alpha\), ami ugye \(\displaystyle \alpha>90^{\circ}\), azaz tompaszögű háromszög esetén negatív.
Statisztika:
269 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 86 versenyző. 2 pontot kapott: 152 versenyző. 1 pontot kapott: 21 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai