A B. 4653. feladat (2014. október)

B. 4653. Hány olyan pozitív egészekből álló $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ rendezett számhármas van, amelyre igaz, hogy $\displaystyle [a,b,c]=10!$ és $\displaystyle (a,b,c)=1$? (Az $\displaystyle (a,b,c)$ a legnagyobb közös osztót, az $\displaystyle [a,b,c]$ pedig a legkisebb közös többszöröst jelenti.)

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle 10!$ szám prímtényezős felbontása:

$\displaystyle 10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7^1.$

Tegyük fel, hogy $\displaystyle 10!$ kanonikus alakjában a $\displaystyle p$ prímszám az $\displaystyle \alpha$-adik hatványon szerepel. Ekkor $\displaystyle (a,b,c)=1$ és $\displaystyle [a,b,c]=10!$ teljesülése esetén $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ között szerepelnie kell olyan számnak, ami nem osztható $\displaystyle p$-vel, olyannak, amit $\displaystyle p$ pontosan az $\displaystyle \alpha$-adik hatványon oszt, és a harmadik számban is legfeljebb $\displaystyle \alpha$ lehet $\displaystyle p$ kitevője. Ha ezek a feltételek mind a négy prímosztóra teljesülnek, továbbá az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ számok összes prímosztója a 2, 3, 5, 7 közül kerül ki, akkor $\displaystyle (a,b,c)=1$ és $\displaystyle [a,b,c]=10!$ valóban teljesül.

Vizsgáljuk most meg, hogy az $\displaystyle a,b,c$ számok prímtényezős felbontásában $\displaystyle p$ kitevője (ahol $\displaystyle p$ a $\displaystyle 10!$ egyik prímosztója) hányféle módon választható meg. Legyen a három kitevő $\displaystyle 0,\alpha$ és $\displaystyle \beta$. Ha $\displaystyle 0<\beta<\alpha$, akkor 6-féle sorrend lehetséges, ha $\displaystyle \beta=0$ vagy $\displaystyle \beta=\alpha$, akkor pedig 3-3. Tehát összességében $\displaystyle p$ kitevőjének megválasztására a három számban $\displaystyle 6(\alpha-1)+2\cdot 3=6\alpha$ lehetőség van. A különböző prímosztókra a kitevőket egymástól függetlenül válaszhatjuk meg, így az olyan $\displaystyle a,b,c$ pozitív egész számokból álló rendezett hármasok száma, amelyekre teljesül a feltétel, összesen $\displaystyle (6\cdot 8)\cdot (6\cdot 4)\cdot (6\cdot 2)\cdot (6\cdot 1)=82\;944$.

Radnai Bálint (Veszprém, Lovassy László Gimn., 9. évf.)

Statisztika:

208 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	81 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	37 versenyző.
1 pontot kapott:	46 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai