A B. 4654. feladat (2014. október)

B. 4654. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben legyen \(\displaystyle AD\) magasság, \(\displaystyle BE\) szögfelező, \(\displaystyle CF\) pedig súlyvonal. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) egyenesek pontosan akkor metszik egymást egy pontban, ha \(\displaystyle ED\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel.

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. I. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle ED\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel. Ekkor a párhuzamos szelők tétele miatt:

\(\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DB}, \)

amiből \(\displaystyle AF=FB\) miatt következik, hogy

\(\displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1, \)

azaz a Ceva-tétel megfordításának értelmében az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) egyenesek egy ponton mennek át.

II. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) egyenesek egy ponton mennek át. Ekkor Ceva tételének értelmében igaz, hogy

\(\displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1, \)

amiből \(\displaystyle AF = FB\) miatt

\(\displaystyle \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1, \)

és így

\(\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DB}. \)

Ebből a párhuzamos szelők tételének megfordítását felhasználva következik, hogy \(\displaystyle ED\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel.

Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Geng Máté (Budapest, Németh László Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	30 versenyző.
2 pontot kapott:	37 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai