A B. 4654. feladat (2014. október)

B. 4654. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben legyen $\displaystyle AD$ magasság, $\displaystyle BE$ szögfelező, $\displaystyle CF$ pedig súlyvonal. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle AD$, $\displaystyle BE$ és $\displaystyle CF$ egyenesek pontosan akkor metszik egymást egy pontban, ha $\displaystyle ED$ párhuzamos $\displaystyle AB$-vel.

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. I. Tegyük fel, hogy $\displaystyle ED$ párhuzamos $\displaystyle AB$-vel. Ekkor a párhuzamos szelők tétele miatt:

$\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DB},$

amiből $\displaystyle AF=FB$ miatt következik, hogy

$\displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,$

azaz a Ceva-tétel megfordításának értelmében az $\displaystyle AD$, $\displaystyle BE$ és $\displaystyle CF$ egyenesek egy ponton mennek át.

II. Tegyük fel, hogy az $\displaystyle AD$, $\displaystyle BE$ és $\displaystyle CF$ egyenesek egy ponton mennek át. Ekkor Ceva tételének értelmében igaz, hogy

$\displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,$

amiből $\displaystyle AF = FB$ miatt

$\displaystyle \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,$

és így

$\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DB}.$

Ebből a párhuzamos szelők tételének megfordítását felhasználva következik, hogy $\displaystyle ED$ párhuzamos $\displaystyle AB$-vel.

Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Geng Máté (Budapest, Németh László Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	30 versenyző.
2 pontot kapott:	37 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai