A B. 4656. feladat (2014. október)

B. 4656. Mutassuk meg, hogy bármely négyoldalú konvex testszögletnek létezik paralelogramma alakú síkmetszete.

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Középiskolában rendszeresen előforduló feladat a következő: konvex szögtartomány tetszőleges \(\displaystyle P\) belső pontján keresztül húzható olyan egyenes, amelynek szögszárak közé eső szakaszát az adott \(\displaystyle P\) pont felezi. A megoldáshoz középpontosan tükrözni kell az egyik szögszárat az adott \(\displaystyle P\) pontra. A konvexitás miatt a tükrözött félegyenes metszi a másik szögszárat. Ez a pont lesz az egyik szakaszvégpont. Ezt a pontot a \(\displaystyle P\)-vel összekötve kapjuk a megfelelő egyenest.

Az előbbi eredmény felhasználásával tekintsük a négyoldalú konvex térszöglet két-két szemben lévő félegyenese által meghatározott szögtartományokat, továbbá ezek metszetét, ami egy félegyenes. Ezt követően vegyünk ennek a metszésvonalnak a tartományba eső félegyenesén egy tetszőleges \(\displaystyle K\) pontot, amely a paralelogramma középpontja lesz. Most használjuk fel az előbb idézett feladat eredményét, hogy konvex szögtartományban bármely ponthoz lehet úgy egy szakasz húzni, hogy a szakasz végpontjai a szárakon vannak, s a szakasz felezőpontja az adott pont. Ezt végezzük el a \(\displaystyle K\) ponttal és a két szögtartománnyal. Így keletkezik négy olyan pont, ami két metsző egyenesen helyezkedik el, tehát egy síkban van, és a négyszög átlói felezik is egymást, tehát valóban egy paralelogrammát kapunk.

Nagy Kartal (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balog Gergely, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Coulibaly Patrik, Cseh Kristóf, Csépai András, Czirkos Angéla, Fekete Panna, Gál Boglárka, Gáspár Attila, Geng Máté, Gera Dóra, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Herendi Krisztián, Horeftos Leon, Jenei Dániel Gábor, Juhász 326 Dániel, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Khayouti Sára, Kocsis Júlia, Kosztolányi Kata, Kovács 162 Viktória, Kovács Péter Tamás, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Losonczy Richárd, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Nemes György, Regős Krisztina, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Stein Ármin, Szász Dániel Soma, Szebellédi Márton, Széles Katalin, Tihanyi Áron, Tóth 199 Viktor, Török Tímea, Török Zsombor Áron, Varga Rudolf, Williams Kada.
3 pontot kapott:	Nagy Kartal, Varga-Umbrich Eszter.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai