A B. 4657. feladat (2014. október)

B. 4657. Egy háromszög beírható körének a sugara \(\displaystyle r\), a körülírt körének sugara pedig \(\displaystyle R\). Tegyük föl, hogy \(\displaystyle R < r \big(\sqrt{2}+1\big)\). Következik-e a feltételből, hogy a háromszög hegyesszögű?

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Induljunk ki a feltételből és alakítsuk át, majd ismét használjuk fel az eredeti feltételt. Így kapjuk, hogy:

\(\displaystyle R<r \big(\sqrt{2}+1\big),\quad R^2<Rr\big(\sqrt{2}+1\big),\)

\(\displaystyle R^2-2Rr<Rr\big(\sqrt{2}-1\big)< r\big(\sqrt{2}+1\big)\cdot r\big(\sqrt{2}-1\big)=r^2.\)

Euler tétele szerint, ha \(\displaystyle d\) jelöli a háromszög beírható köre és körülírt köre középpontjának a távolságát, akkor

\(\displaystyle d^2=R^2-2Rr. \)

Feltételünkből tehát \(\displaystyle d^2<r^2\), azaz \(\displaystyle d<r\) következik.

A két kör középpontjának a távolsága kisebb, mint a beírt kör sugara, ezért a körülírt kör középpontja a beírt kör belsejében, s így a háromszög belsejében van. Viszont egy háromszög körülírt körének középpontja pontosan akkor van a háromszög belsejében, ha a háromszög hegyesszögű. Tehát a \(\displaystyle R<r \big(\sqrt{2}+1\big)\) feltételből következik, hogy a háromszög hegyesszögű.

Telek Máté László (Salgótarján, Táncsics M. Közg. és Ker. Szki., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Coulibaly Patrik, Cseh Kristóf, Csépai András, Czirkos Angéla, Döbröntei Dávid Bence, Dömsödi Bálint, Fekete Panna, Geng Máté, Gergely Bence, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kavas Katalin, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Lengyel Ádám, Nagy Viktor, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Papp 893 Marcell, Pohli Anna, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Széles Katalin, Szőke Tamás, Telek Máté László, Tóth 111 Máté , Török Tímea, Török Zsombor Áron, Vankó Miléna, Williams Kada.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai