 |
A B. 4658. feladat (2014. október) |
B. 4658. Oldjuk meg a
\(\displaystyle 8^{2x-1}-1=343^{x-1}+\frac{3}{14} 28^x \)
egyenletet.
(6 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Próbálgatással láthatjuk, hogy \(\displaystyle x_1=1\) és \(\displaystyle x_2=2\) megoldások. Célunk annak bizonyítása, hogy több megoldás nincs.
Osszuk el az egyenletet \(\displaystyle 8^{2x-1}\)-gyel és rendezzük át a következő alakba:
\(\displaystyle 1 = 8\cdot \left(\frac1{64}\right)^x + \frac8{343}\cdot \left(\frac{343}{64}\right)^x + \frac{12}7\cdot \left(\frac{7}{16}\right)^x. \)
A jobboldal szigorúan konvex, ezért az egyenletnek legfeljebb két megoldása lehet.
Az egyenletnek tehát két megoldása van: \(\displaystyle x_1=1\) és \(\displaystyle x_2=2\).
Statisztika:
79 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Ardai István Tamás, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Dobák Dávid, Dömsödi Bálint, Fekete Panna, Gáspár Attila, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 972 Márton, Kovács Péter Tamás, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Lengyel Ádám, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Öreg Botond, Pap Tibor, Porupsánszki István, Sáfrán Péter, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Somogyi Pál, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tari Balázs, Tompa Tamás Lajos, Várkonyi Dorka, Williams Kada. 5 pontot kapott: Kátay Tamás. 4 pontot kapott: 4 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 17 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai