A B. 4665. feladat (2014. november)

B. 4665. Az $\displaystyle m$ paraméter függvényében adjuk meg az

$\displaystyle mX+4= \big|X^2-10X+21\big|$

egyenlet megoldásainak számát.

Javasolta: Grallert Krisztina (Balassagyarmat)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladatot grafikusan oldjuk meg. Derékszögű koordinátarendszerben ábrázoljuk az $\displaystyle Y=mX+4$ és az $\displaystyle Y= \big|X^2-10X+21\big|$ függvényeket. A két görbe közös pontjainak a száma adja az eredeti egyenlet megoldásainak számát.

Az $\displaystyle Y=mX+4$ egy egyenes egyenlete. Jelöljük ezt az egyenest $\displaystyle e_m$-mel. Ha $\displaystyle X=0$, akkor $\displaystyle Y=4$, ezért $\displaystyle e_m$ mindig átmegy a koordinátarendszer $\displaystyle A=(0;4)$ pontján. Az egyenes meredeksége az $\displaystyle m$ értékétől függ, s tekinthetjük úgy, hogy ha $\displaystyle m$-et változtatjuk, akkor $\displaystyle e_m$ az $\displaystyle A$ körül forog.

Az $\displaystyle Y=X^2-10X+21$ függvény képe egy olyan felfelé nyíló $\displaystyle {\mathcal P}$ parabola, mely a $\displaystyle B=(3;0)$ és a $\displaystyle C=(7;0)$ pontokban metszi az $\displaystyle x$ tengelyt (mert az $\displaystyle x^2-10x+21=0$ egyenlet gyökei $\displaystyle 3$ és $\displaystyle 7$). Ezért az $\displaystyle Y= \big|X^2-10X+21\big|$ függvény $\displaystyle {\mathcal G}$ képét úgy kapjuk, hogy $\displaystyle x\le 3$, valamint $\displaystyle 7\le x$ esetén tekintjük $\displaystyle {\mathcal P}$ megfelelő íveit, ha pedig $\displaystyle 3< x <7$, akkor $\displaystyle {\mathcal P}$-nek az $\displaystyle x$-tengelyre vonatkozó $\displaystyle {\mathcal P}'$ tükörképét, ami éppen az $\displaystyle Y=- \big(X^2-10X+21\big)$ egyenletű parabola megfelelő íve (1. ábra). Azt kell tehát meghatároznunk, hogy az $\displaystyle e_m$ egyenesnek hány közös pontja van a két parabola darabjaiból összerakott görbével.

1. ábra

Tudjuk, hogy egy külső $\displaystyle K$ pontból egy parabolához két érintő húzható (lásd pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a kúpszeletekről I. és II., KöMaL 54 (2004), 450-459. és 514-518. o.). Ha a koordinátarendszerben egy parabola tengelye függőleges, akkor a $\displaystyle K$-n átmenő egyenesek közül a függőlegesnek egy közös pontja van a parabolával, ha pedig a $\displaystyle K$-ból a parabolához húzott érintők meredeksége $\displaystyle t_1<t_2$, akkor a $\displaystyle K$-n átmenő $\displaystyle m$ meredekségű egyeneseknek $\displaystyle t_1< m < t_2$ esetén nincs, $\displaystyle m< t_1$ és $\displaystyle t_2 < m$ esetén pedig pontosan két közös pontjuk van a parabolával (2. ábra).

2. ábra

Határozzuk meg az $\displaystyle A$-ból $\displaystyle {\mathcal P}$-hez húzható érintők meredekségét. Az $\displaystyle e_m$ egyenes akkor érintő, ha az

$\displaystyle mx+4=x^2-10x+21, \quad \mathrm{azaz}\quad x^2-(10+m)x+17=0$

egyenletnek egy megoldása van. Ez pontosan akkor teljesül, ha az egyenlet diszkriminánsa $\displaystyle 0$, vagyis ha

$\displaystyle {(10+m)}^2-4\cdot 17=0, \quad \text{azaz} \quad m^2+20m+32=0,$

amiből kapjuk, hogy $\displaystyle m_{1,2}=-10\pm \sqrt{68}$. Ugyanígy kapjuk, hogy az $\displaystyle A$-ból $\displaystyle {\mathcal P}'$-höz húzható érintők meredeksége $\displaystyle m_{3}=0$ és $\displaystyle m_4=20$. A metszéspontok számának meghatározásához még szükségünk van az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ egyenesek meredekségére, ami a pontok koordinátáiból könnyen adódik, $\displaystyle AB$ esetén $\displaystyle m_5=(0-4)/(3-0)=-4/3$, $\displaystyle AC$ esetén pedig $\displaystyle m_6=(0-4)/(7-0)=-4/7$ (3. ábra).

3. ábra

Ezek után az $\displaystyle mX+4= \big|X^2-10X+21\big|$ egyenlet megoldásainak számát leolvashatjuk a 3. ábráról.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle m<-10-\sqrt{68}\,$, akkor $\displaystyle 2$ megoldás van, mert $\displaystyle e_m$ két-két pontban metszi $\displaystyle {\mathcal P}$-t is és $\displaystyle {\mathcal P}'$-t is, de a négy metszéspont közül csak kettő tartozik $\displaystyle {\mathcal G}$-hez, mert a $\displaystyle {\mathcal P}'$-vel vett metszéspontok az $\displaystyle x$ tengely alatt vannak.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle m=-10-\sqrt{68}$, akkor $\displaystyle 1$ megoldás van, mert $\displaystyle e_m$ érinti $\displaystyle {\mathcal P}$-t és két pontban metszi $\displaystyle {\mathcal P}'$-t, de e két utóbbi pont nem tartozik $\displaystyle {\mathcal G}$-hez, mert az $\displaystyle x$ tengely alatt vannak.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle -10-\sqrt{68}<m<-4/3$, akkor a megoldások száma $\displaystyle 0$, mert $\displaystyle e_m$ és $\displaystyle {\mathcal P}$ valamennyi (nulla, egy, vagy kettő) metszéspontja, továbbá $\displaystyle e_m$ és $\displaystyle {\mathcal P}'$ két metszéspontja is az $\displaystyle x$ tengely alatt van, ezért nem tartozik $\displaystyle {\mathcal G}$-hez.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle m=-4/3$, akkor $\displaystyle 1$ megoldás van, mert $\displaystyle e_m$ két-két pontban metszi $\displaystyle {\mathcal P}$-t is és $\displaystyle {\mathcal P}'$-t is, de a négy metszéspont közül kettő egybeesik $\displaystyle B$-vel, a másik kettő pedig nem tartozik $\displaystyle {\mathcal G}$-hez, mert az $\displaystyle x$ tengely alatt van.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle -4/3<m<-4/7$, akkor $\displaystyle 2$ megoldás van, mert $\displaystyle e_m$ két-két pontban metszi $\displaystyle {\mathcal P}$-t is és $\displaystyle {\mathcal P}'$-t is, de a metszéspontok közül csak egy-egy tartozik $\displaystyle {\mathcal G}$-hez, mert a másik két pont az $\displaystyle x$ tengely alatt van.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle m=-4/7$, akkor $\displaystyle 3$ megoldás van, mert $\displaystyle e_m$ két-két $\displaystyle {\mathcal G}$-hez tartozó pontban metszi $\displaystyle {\mathcal P}$-t is és $\displaystyle {\mathcal P}'$-t is, de a négy metszéspont közül kettő egybeesik $\displaystyle C$-vel.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle -4/7<m<0$, akkor $\displaystyle 4$ megoldás van, mert $\displaystyle e_m$ két-két pontban metszi $\displaystyle {\mathcal P}$-t is és $\displaystyle {\mathcal P}'$-t is, és a metszéspontok mindegyike $\displaystyle {\mathcal G}$-hez tartozik.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle m=0$, akkor $\displaystyle 3$ megoldás van, mert $\displaystyle e_m$ két pontban metszi $\displaystyle {\mathcal P}$-t és érinti $\displaystyle {\mathcal P}'$-t, és a közös pontok mindegyike $\displaystyle {\mathcal G}$-hez tartozik.

$\displaystyle \bullet$ Ha $\displaystyle 0<m$, akkor $\displaystyle 2$ megoldás van, mert $\displaystyle e_m$ két $\displaystyle {\mathcal G}$-hez tartozó pontban metszi $\displaystyle {\mathcal P}$-t, a $\displaystyle {\mathcal P}'$-vel közös pontjai (nulla, egy vagy kettő, attól függően, hogy $\displaystyle {m<20}$, $\displaystyle m=20$ vagy $\displaystyle m>20$) pedig az $\displaystyle x$ tengely alatt vannak, ezért nem tartoznak $\displaystyle {\mathcal G}$-hez.

Kovács Péter Tamás (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 11. évf.) dolgozatát felhasználva

Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Andó Angelika, Baglyas Márton, Balogh Menyhért, Borbényi Márton, Erdei Ákos, Fehér Balázs, Gál Boglárka, Hegyi Zoltán, Horváth Péter, Kasó Ferenc, Kerekes Anna, Kovács 162 Viktória, Kovács Péter Tamás, Lakatos Ádám, Nagy-György Zoltán, Pálfi Mária, Polgár Márton, Széles Katalin, Urbán Miklós Vlagyimír, Vághy Mihály, Varga-Umbrich Eszter, Wiandt Péter.
2 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Bencze Tamás, Cseke 997 Mihály, Dömsödi Bálint, György Levente, Kátay Tamás, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Pap Tibor, Pipis Bence, Somogyi Pál, Szabó 157 Dániel, Szakács Lili Kata, Szakály Marcell, Szász Anna, Szécsényi Nándor, Telek Máté László, Tóth Ádám Bars, Török Zsombor Áron, Váli Benedek, Varga Rudolf, Zsakó Ágnes.
1 pontot kapott:	81 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai