A B. 4666. feladat (2014. november)

B. 4666. Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k-1) \left[\frac{n}{k}\right] = \sum_{k=1}^n \left[\frac{n}{k}\right]^2. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Tekintsük az olyan \(\displaystyle (k,\ell)\) párokat, amelyekben \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) pozitív egészek, amelyek szorzata legfeljebb \(\displaystyle n\).

Minden ilyen \(\displaystyle (k,\ell)\) párhoz rendeljük a \(\displaystyle 2k-1\) ,,súlyt'', és adjuk össze ezeket a súlyokat kétféleképpen: \(\displaystyle k\), illetve \(\displaystyle \ell\) szerint csoportosítva.

\(\displaystyle \sum_{k\ell\le n} (2k-1) = \sum_{k=1}^n \sum_{1\le \ell\le [\frac{n}{k}]} (2k-1) = \sum_{k=1}^n \left[\frac{n}{k}\right](2k-1) , \)

illetve

\(\displaystyle \sum_{k\ell\le n} (2k-1) = \sum_{\ell=1}^n \sum_{1\le k\le [\frac{n}{\ell}]} (2k-1) = \sum_{\ell=1}^n \left[\frac{n}{\ell}\right]^2. \)

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Czirkos Angéla, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gáspár Attila, Geng Máté, Hansel Soma, Hraboczki Attila Márton, Imolay András, Kerekes Anna, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Mócsy Miklós, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Gergely, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Németh 123 Balázs, Pap Tibor, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Vághy Mihály, Wei Cong Wu, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Kocsis Júlia.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai