A B. 4669. feladat (2014. december)

B. 4669. Közismert, hogy a 777 fejű sárkányoknak minden nyakán 9 vagy 13 fej ül. Két sárkány egyforma, ha ugyanannyi 9 fejű nyakuk van. Hány különböző 777 fejű sárkány van?

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a 9-fejű nyakak száma $\displaystyle a$, a 13-fejű nyakak száma $\displaystyle b$.

Ekkor teljesül a következő összefüggés: $\displaystyle 9a+13b=777$, amiből

$\displaystyle a=\frac{777-13b}{9}=86-b+\frac{3-4b}{9}.$

Az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ értéke akkor megfelelő, ha mindkét oldal egész szám és pozitív; ebből egyelőre csak az előbbi követelménnyel foglalkozunk. Ez pontosan akkor teljesül, ha $\displaystyle b$ is és $\displaystyle \frac{3-4b}{9}=x$ is egész, azaz $\displaystyle 4b+9x=3$, vagyis $\displaystyle b=\frac{3-9x}{4}= -2x+\frac{3-x}{4}$. Ez akkor és csak akkor egész, ha tetszőleges $\displaystyle y$ egésszel $\displaystyle 3-x=4y$, vagyis $\displaystyle x=3-4y$. Ez azt jelenti, hogy

$\displaystyle b=-2(3-4y)+y=-6+9y \quad\text{és}\quad a=86-(-6+9y)+ (3-4y)=95-13y.$

Szükséges még, hogy $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ egyike se legyen negatív: $\displaystyle a=95-13y\ge0$, azaz $\displaystyle y\le 7$, valamint $\displaystyle b=-6+9y\ge0$, vagyis $\displaystyle y\ge1$. Így $\displaystyle y=1,2,3,4,5,6,7$ lehet, tehát 7 különböző értékpár adódott $\displaystyle (a;b)$-re, ennyi különböző 777 fejű sárkány van.

Statisztika:

216 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	117 versenyző.
2 pontot kapott:	51 versenyző.
1 pontot kapott:	46 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai