A B. 4670. feladat (2014. december)

B. 4670. Az $\displaystyle ABC$ háromszög oldalainak felezőpontjai legyenek $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$ és $\displaystyle C_1$. Bocsássunk $\displaystyle A_1$-ből merőlegest az $\displaystyle A$ csúcshoz tartozó szögfelezőre, $\displaystyle B_1$-ből a $\displaystyle B$-hez, $\displaystyle C_1$-ből pedig a $\displaystyle C$-hez tartozóra. A $\displaystyle B_1$-et tartalmazó merőleges és a $\displaystyle C_1$-et tartalmazó merőleges metszéspontja legyen $\displaystyle A_2$, hasonlóan kapjuk a $\displaystyle B_2$, $\displaystyle C_2$ pontokat. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle A_1A_2$, $\displaystyle B_1B_2$, $\displaystyle C_1C_2$ egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Sárosdi Zsombor (Veresegyház)

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Tekintsük az $\displaystyle A_1B_1C_1$ háromszög szögfelezőit.

Megoldás. Legyenek az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ pontokból induló belső szögfelezők $\displaystyle f_{a}$, $\displaystyle f_{b}$, $\displaystyle f_{c}$. Az $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}$ középvonal háromszög belső szögfelezői legyenek $\displaystyle f_{a_{1}}$, $\displaystyle f_{b_{1}}$, $\displaystyle f_{c_{1}}$. Az $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}$ háromszögek oldalai páronként párhuzamosak és megfelelő szögeik egyenlők, ezért $\displaystyle f_{a_{1}}\parallel f_{a}$, $\displaystyle f_{b_{1}}\parallel f_{b}$, $\displaystyle f_{c_{1}}\parallel f_{c}$.

Ezért az $\displaystyle A_{1}$, $\displaystyle B_{1}$, $\displaystyle C_{1}$ pontokból az $\displaystyle f_{a}$, $\displaystyle f_{b}$, $\displaystyle f_{c}$ szögfelezőkre bocsájtott merőlegesek az $\displaystyle f_{a_{1}}$, $\displaystyle f_{b_{1}}$, $\displaystyle f_{c_{1}}$ egyenesekre is merőlegesek lesznek, és így ezek lesznek az $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}\triangle$ külső szögfelezői.

Egy háromszög két csúcsában húzott külső és a harmadik csúcsban húzott belső szögfelezője egy pontban, a háromszög hozzáírt körének középpontjában metszi egymást, ezért az $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}\triangle$ külső szögfelezőinek $\displaystyle A_{2}$, $\displaystyle B_{2}$, $\displaystyle C_{2}$ metszéspontjain rendre áthaladnak az $\displaystyle f_{a_{1}}$, $\displaystyle f_{b_{1}}$, $\displaystyle f_{c_{1}}$ szögfelezők. Ezek rendre egybeesnek az $\displaystyle A_{1}A_{2}$, $\displaystyle B_{1}B_{2}$, $\displaystyle C_{1}C_{2}$ egyenesekkel.

Vagyis az $\displaystyle A_{1}A_{2}$, $\displaystyle B_{1}B_{2}$, $\displaystyle C_{1}C_{2}$ egyenesek az $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}\triangle$ belső szögfelezői, ezért egy pontban metszik egymást.

Gál Boglárka (Veszprém, Lovassy L. Gimn. 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Csépai András, Gál Boglárka, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Heinc Emília, Juhász 326 Dániel, Kerekes Anna, Khayouti Sára, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Polgár Márton, Vankó Miléna, Várkonyi Dorka, Williams Kada.
2 pontot kapott:	Andó Angelika, Ratkovics Gábor, Sal Kristóf, Szakály Marcell, Szász Dániel Soma.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai