A B. 4673. feladat (2014. december)

B. 4673. Az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög átlóinak metszéspontja $\displaystyle E$, körülírt körének középpontja $\displaystyle K$. Az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ oldalegyenesek metszéspontja $\displaystyle F$, a $\displaystyle BC$ és $\displaystyle DA$ oldalegyenesek metszéspontja $\displaystyle G$. A $\displaystyle BFC$ és $\displaystyle CGD$ háromszögek körülírt köreinek második metszéspontja $\displaystyle H$. Igazoljuk, hogy a $\displaystyle K$, $\displaystyle E$ és $\displaystyle H$ pontok egy egyenesen fekszenek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Keressünk egyenlő szögeket.

Megoldás. Először azt látjuk be, hogy a $\displaystyle G$, $\displaystyle H$, $\displaystyle F$ pontok egy egyenesbe esnek.

$\displaystyle FHCB$ húrnégyszög, mivel mindegyik pontja rajta van a $\displaystyle BFC$ háromszög köré írt körén. Hasonlóan $\displaystyle HGDC$ is húrnégyszög. Mindebből

$\displaystyle FHC\sphericalangle =180^\circ-FBC\sphericalangle =CBA\sphericalangle,$

$\displaystyle CHG\sphericalangle =180^\circ-GDC\sphericalangle =CDA\sphericalangle.$

$\displaystyle CBA\sphericalangle +CDA\sphericalangle =180^\circ$, hiszen $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög. Tehát $\displaystyle FHC\sphericalangle+CHG\sphericalangle= 180^\circ$, így a $\displaystyle G$, $\displaystyle H$, $\displaystyle F$ pontok valóban egy egyenesbe esnek.

Most belátjuk, hogy a $\displaystyle HCKA$, illetve a $\displaystyle HDKB$ négyszögek húrnégyszögek.

Az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög megváltoztatásával bizonyos szögek megváltozhatnak, de az, hogy a két négyszög húrnégyszög ekkor is analóg módon bizonyítható. (Ilyen eset lehet, ha például a $\displaystyle K$ pont átkerül az $\displaystyle AC$ szakasz $\displaystyle B$-vel átellenes oldalára.)

Ehhez a $\displaystyle CKA\sphericalangle +AHC\sphericalangle =180^\circ$, illetve a $\displaystyle DKB\sphericalangle +BHD\sphericalangle =180^\circ$ feltételeket kell igazolnunk.

A kerületi és középponti szögek tétele miatt:

$\displaystyle CKA\sphericalangle =2\cdot CBA\sphericalangle =2\beta, \quad\text{valamint}\quad DKB\sphericalangle =2\cdot DAB\sphericalangle =2\alpha.$

Tehát elegendő belátnunk, hogy:

$\displaystyle AHC\sphericalangle =180^\circ-2\beta \quad\text{és} \quad BHD\sphericalangle =180^\circ-2\alpha,$

$\displaystyle AHC\sphericalangle =180^\circ-(FHC\sphericalangle +AHG\sphericalangle), \quad BHD\sphericalangle =180^\circ-(FHB\sphericalangle +DHG\sphericalangle).$

Most pedig igazoljuk, hogy:

$\displaystyle FHB\sphericalangle =DHG\sphericalangle =\alpha, \quad FHC\sphericalangle =AHG\sphericalangle =\beta.$

$\displaystyle FHB\sphericalangle =FCB\sphericalangle$ az $\displaystyle FHCB$ húrnégyszögben, és

$\displaystyle FCB\sphericalangle =180^\circ-BCD\sphericalangle =DAB\sphericalangle =\alpha.$

Ugyanígy $\displaystyle DHG\sphericalangle =DCG\sphericalangle =180^\circ-BCD\sphericalangle =DAB\sphericalangle =\alpha$. A másik szögpárnál szükségünk lesz még egy húrnégyszögre, a $\displaystyle BHGA$ négyszögre. Ez a négyszög is húrnégyszög, hiszen

$\displaystyle BHG\sphericalangle =180^\circ-BHF\sphericalangle =180^\circ-BCF\sphericalangle =BCD\sphericalangle =180^\circ-DAB\sphericalangle,$

és így $\displaystyle GAB\sphericalangle +BHG\sphericalangle =180^\circ$. Tehát $\displaystyle GABH$ húrnégyszög, így:

$\displaystyle AHG\sphericalangle =ABG\sphericalangle =ABC\sphericalangle =\beta.$

Mivel $\displaystyle FHCB$ húrnégyszög:

$\displaystyle CHF\sphericalangle =180^\circ-FBC\sphericalangle =ABC\sphericalangle =\beta.$

Tehát igazoltuk, hogy a $\displaystyle HCKA$ és a $\displaystyle HDKB$ négyszögek húrnégyszögek, így rátérhetünk a bizonyítandó állításra.

Legyen a $\displaystyle HCKA$ négyszög köré írt köre $\displaystyle a$, $\displaystyle HDKB$-é $\displaystyle b$, $\displaystyle ABCD$-é pedig $\displaystyle k$. Végezzünk $\displaystyle k$ alapkörű inverziót (az I. 324. feladat az inverzió bemutatása volt prezentáció segítségével: http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=I324&l=hu), mely során $\displaystyle a$-t és $\displaystyle b$-t invertáljuk. Mindkét kör képe egyenes lesz, hiszen ezen körök átmennek $\displaystyle k$ középpontján, $\displaystyle K$-n. Másrészről, mivel $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, $\displaystyle D$ egyaránt $\displaystyle k$ pontjai, az inverzió ezeket helyben hagyja. Tehát $\displaystyle a$ képe egy egyenes, mely átmegy az $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ pontokon -- ez éppen az $\displaystyle AC$ egyenes. Hasonlóan $\displaystyle b$ képe a $\displaystyle BD$ egyenes lesz. Ezek metszéspontja $\displaystyle E$. Az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ invertálása során kaptunk egy olyan pontot, mely $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ inverzén is rajta van. Az inverzió két különböző ponthoz két különböző pontot rendel. Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle E$ az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ közös pontjának inverze lesz. Az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ két közös ponttal rendelkezik: $\displaystyle H$-val és $\displaystyle K$-val. Közülük $\displaystyle K$ az alapkör középpontja, melynek nincs inverze. Ebből következik, hogy $\displaystyle H$ inverze $\displaystyle E$, vagyis $\displaystyle K$, $\displaystyle H$ és $\displaystyle E$ egy egyenesen van.

Németh Balázs (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Gál Boglárka, Geng Máté, Imolay András, Keresztfalvi Bálint, Khayouti Sára, Kocsis Júlia, Nagy-György Pál, Németh 123 Balázs, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Vághy Mihály, Williams Kada.
3 pontot kapott:	Gyulai-Nagy Szuzina, Heinc Emília.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai