A B. 4675. feladat (2014. december)

B. 4675. Melyik a nagyobb:

$\displaystyle \log_{3}4\cdot \log_{3}6 \cdot \log_{3}8\cdot \ldots \cdot \log_{3}2012 \cdot \log_{3}2014$

vagy

$\displaystyle 2\cdot \log_{3}3\cdot \log_{3}5 \cdot \log_{3}7\cdot \ldots \cdot \log_{3} 2011 \cdot \log_{3} 2013?$

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Használjuk a logaritmus azonosságait.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az első kifejezés a nagyobb, vagyis

$\displaystyle 2\cdot \log_3 3\cdot \log_3 5 \cdot \log_3 7 \cdot \ldots \cdot \log_3 2011 \cdot \log_3 2013<{}$

$\displaystyle {}< \log_3 4\cdot \log_3 6 \cdot \log_3 8 \cdot \ldots \cdot \log_3 2012 \cdot \log_3 2014.$

A bal oldalon álló szorzat minden tényezője pozitív, így az egyenlőtlenség ekvivalens a következővel:

$\displaystyle 2\cdot \sqrt{\log_3 3}\cdot \sqrt{\log_3 3 \cdot \log_3 5}\cdot \sqrt{\log_3 5 \cdot \log_3 7} \cdot \ldots \cdot{}$

$\displaystyle {}\cdot \sqrt{\log_3 2011\cdot \log_3 2013}\cdot \sqrt{\log_3 2013} <{}$

$\displaystyle {}< \log_3 4\cdot \log_3 6 \cdot \log_3 8 \cdot \ldots \cdot \log_3 2012 \cdot \log_3 2014.$

Ha $\displaystyle 3\le n$, akkor a $\displaystyle 0<\log_3 n$ és a $\displaystyle 0<\log_3 (n+2)$ kifejezésekre alkalmazva a mértani és számtani közép közti egyenlőtlenséget:

$\displaystyle \sqrt{\log_3 n \cdot \log_3 (n+2)} \le \frac{\log_3 n + \log_3(n+2)}{2}.$

A $\displaystyle \log_3 x$ függvény konkáv, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint:

$\displaystyle \frac{\log_3 n + \log_3(n+2)}{2} \le \log_3 \left(\frac{n+(n+2)}{2}\right)=\log_3(n+1),$

ezért

$\displaystyle \sqrt{\log_3 n \cdot \log_3 (n+2)} \le \log_3 (n+1).$

Ezt rendre $\displaystyle n=3, 5, \ldots, 2011$-re alkalmazva:

$\displaystyle \sqrt{\log_3 3 \cdot \log_3 5}\cdot \sqrt{\log_3 5 \cdot \log_3 7}\cdot \ldots \cdot \sqrt{\log_3 2011\cdot \log_3 2013} \le$

$\displaystyle \le \log_3 4\cdot \log_3 6 \cdot \ldots \cdot \log_3 2012,$

így az állítás igazolásához elég a következőt belátnunk:

$\displaystyle 2\cdot \sqrt{\log_3 3} \cdot \sqrt{\log_3 2013} < \log_3{2014}.$

Nyilván $\displaystyle \sqrt{\log_3 2013}<\sqrt{\log_3 2014}$ és $\displaystyle \log_3 3 = 1$, emiatt elég a következőt igazolnunk:

$\displaystyle 2 <\sqrt{\log_3 2014},$

$\displaystyle 4 <\log_3 2014,$

$\displaystyle 3^4 = 81 < 2014$

(felhasználva, hogy a $\displaystyle \sqrt{x}$ és a $\displaystyle \log_3 x$ függvény szigorúan monoton nő).

Ezzel beláttuk, hogy a két kifejezés közül valóban az első a nagyobb.

Schwarcz Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., 12. évf.)

Statisztika:

49 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Kosztolányi Kata, Kovács Péter Tamás, Lajkó Kálmán, Nagy Kartal, Öreg Botond, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Wei Cong Wu, Williams Kada, Zsakó Ágnes.
3 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Kerekes Anna, Leitereg Miklós, Mócsy Miklós, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy-György Pál, Simon Dániel Gábor, Somogyi Pál.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai