A B. 4679. feladat (2015. január)

B. 4679. Bizonyítsuk be, hogy 39 egymás után következő természetes szám között mindig van olyan, amelyben a számjegyek összege osztható 11-gyel.

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Van 20 olyan szám, amik csak az utolsó két számjegyben különböznek.

Megoldás. Nevezzük ,,10-es átlépésnek'' azt az esetet, amikor egy számot 1-gyel növelve megváltozik a számnak a tízes helyiértékén levő számjegye, de a százas helyiértéken levő nem (pl. \(\displaystyle 89 \to 90\)).

Nevezzük ,,100-as átlépésnek'' azt az esetet, amikor egy számot 1-gyel növelve megváltozik a számnak a százas helyiértékén levő számjegye (pl. \(\displaystyle 199\to 200\) vagy \(\displaystyle 1999\to 2000\)).

Mivel 39 egymást követő szám van, így legfeljebb egyszer fordulhat elő 100-as átlépés.

Ha egy számhoz hozzáadunk 10-et, és nincs 100-as átlépés, akkor a szám jegyeinek összege 1-gyel nő.

Mivel 39 szám van, így vagy a 100-as átlépés előtt vagy után lesz legalább húsz egymást követő szám. Ezek között egy darab 10-es átlépés lehetséges.

Ha a 100-as átlépés előtt van húsz szám (vagyis a 100-as átlépés a 21.), akkor ezen számok jegyeinek összege a következőféleképp alakul: \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+1\), \(\displaystyle a+2\), \(\displaystyle a+3\), ..., \(\displaystyle a+9\), \(\displaystyle a+1\), \(\displaystyle a+2\), ..., \(\displaystyle a+10\) (pl. 80, 81, 82, ..., 89, 90, 91, ..., 99).

Ha a 100-as átlépés után van húsz szám (ekkor a 100-as átlépés az első), akkor a számjegyek összege ugyanígy alakul (pl. 2000, 2001, 2002, ..., 2009, 2010, 2011, ..., 2019).

Ha nincs 100-as átlépés, akkor pedig nyilván van húsz olyan szám, amik között csak egy tízes átlépés szerepel.

Tehát a számok jegyeinek összege lehet: \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+1\), ..., \(\displaystyle a+9\), \(\displaystyle a+10\). Ez 11 egymást követő szám, melyek között biztosan van 11-gyel osztható.

Zsók Bianka (Bonyhádi Petőfi Sándor Evangélikus Gimnázium, 10. évf.)
megoldása alapján

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	77 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai