A B. 4681. feladat (2015. január)

B. 4681. Mekkora a C. 1240. feladatban szereplő ötszög területe?

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A C. 1240. feladat megoldásából (http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=C1240&l=hu) tudjuk, hogy valamennyi szakasz hossza 7 cm.

Jelöljük a szögeket az ábrán látható módon $\displaystyle \alpha$-val, $\displaystyle \beta$-val és $\displaystyle \gamma$-val. Az egybevágóság miatt $\displaystyle BAE\sphericalangle =CBG\sphericalangle =IHG\sphericalangle =\alpha +\gamma$.

A $\displaystyle CBGHI$ ötszögben a szögek összege:

$\displaystyle \alpha + (360^{\circ}-\alpha -\gamma)+\beta +(\alpha +\gamma)+\gamma =3\cdot 180^{\circ}=540^{\circ},$

amiből $\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ}$. Ez azt mutatja, hogy a $\displaystyle GB$ szakasz párhuzamos a $\displaystyle HI$ szakasszal, így a $\displaystyle BGHI$ négyszög rombusz, vagyis a $\displaystyle BI$ távolság is $\displaystyle a=7$ cm. Ekkor a $\displaystyle CBI$ háromszög szabályos, amiből $\displaystyle \alpha =60^{\circ}$.

Az $\displaystyle \alpha$ szög értékének ismeretében $\displaystyle \beta +\gamma =120^{\circ}$, valamint a szabályos háromszög és a rombusz szögeiből az $\displaystyle I$ pontban $\displaystyle \gamma =60^{\circ}+\beta$. Ezekből a szögek kiszámíthatók: $\displaystyle \beta =30^{\circ}$ és $\displaystyle \gamma =90^{\circ}$.

A rombusz magassága: $\displaystyle m=a\cdot \sin \beta =\frac{a}{2}$, területe pedig $\displaystyle T_{R}=a\cdot m=\frac{a^{2}}{2}$. A $\displaystyle CBI$ háromszög területe: $\displaystyle T_{H}=\frac{\sqrt 3}{4}a^{2}$. A teljes $\displaystyle CBGHI$ ötszög területe így:

$\displaystyle T=T_{R}+T_{H}=\frac{2+\sqrt 3}{4}a^{2}\approx 45{,}72~{\rm cm}^{2}.$

Adorján Dániel (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.) és Katona Dániel (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn. 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	63 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai