A B. 4684. feladat (2015. január)

B. 4684. Az $\displaystyle ABCD$ négyszög átlói merőlegesek egymásra, a metszéspontjuk $\displaystyle E$. Az $\displaystyle E$ pontból bocsássunk merőlegest mind a négy oldalegyenesre. Tekintsük mindegyik merőlegesnek a szemközti oldallal való metszéspontját. Igazoljuk, hogy ez a négy pont egy olyan körön van, amelynek középpontja az átlók felezőpontját összekötő szakaszra illeszkedik.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat: Vegyünk fel egy $\displaystyle (x, y)$ koordináta-rendszert, amelyben az $\displaystyle E$ pont az origó, az $\displaystyle AC$ oldal az $\displaystyle x$ tengelyre, a $\displaystyle BD$ oldal pedig az $\displaystyle y$ tengelyre illeszkedik.

Ekkor a négyszög csúcsainak koordinátái a következők: $\displaystyle A(a, 0)$, $\displaystyle B(0, b)$, $\displaystyle C(c, 0)$ és $\displaystyle D(0, d)$, ahol $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ pozitív, $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ pedig negatív valós számok.

$\displaystyle E$-ből az $\displaystyle AB$ oldalra bocsátott merőleges legyen az $\displaystyle e$ egyenes, a $\displaystyle BC$-re bocsátott az $\displaystyle f$ egyenes, a $\displaystyle CD$-re bocsátott a $\displaystyle g$ egyenes, a $\displaystyle DA$-ra bocsátott pedig a $\displaystyle h$ egyenes.

Ekkor az $\displaystyle AB$ egyenes egyenlete: $\displaystyle y=-\frac{b}{a}\cdot x+b$, a $\displaystyle BC$ egyenes egyenlete: $\displaystyle y=-\frac{b}{c}\cdot x+b$, a $\displaystyle CD$ egyenes egyenlete: $\displaystyle y=-\frac{d}{c}\cdot x+d$, míg a $\displaystyle DA$ egyenes egyenlete: $\displaystyle y=-\frac{d}{a}\cdot x+d$.

A merőlegesség miatt az $\displaystyle e$ egyenes egyenlete: $\displaystyle y=\frac{a}{b}\cdot x$, az $\displaystyle f$ egyenes egyenlete: $\displaystyle y=\frac{c}{b}\cdot x$, a $\displaystyle g$ egyenes egyenlete: $\displaystyle \frac{c}{d}\cdot x$, a $\displaystyle h$ egyenes egyenlete pedig: $\displaystyle \frac{a}{d}\cdot x$.

Az $\displaystyle AB$ szakasz és a $\displaystyle g$ egyenes metszéspontja legyen a $\displaystyle P$ pont, a $\displaystyle BC$ szakasz és a $\displaystyle h$ egyenes metszéspontja a $\displaystyle Q$ pont, a $\displaystyle CD$ szakasz és az $\displaystyle e$ egyenes metszéspontja az $\displaystyle R$ pont, valamint a $\displaystyle DA$ szakasz és az $\displaystyle f$ egyenes metszéspontja az $\displaystyle S$ pont.

Ekkor $\displaystyle P$ első koordinátája az egyenletrendszer megoldásából:

$\displaystyle -\frac{b}{a}\cdot x+b=\frac{c}{d}\cdot x,$

$\displaystyle x=\frac{bad}{bd+ac}.$

Az $\displaystyle S$ pont első koordinátája a megfelelő egyenletrendszerből:

$\displaystyle -\frac{d}{a}\cdot x+d=\frac{c}{b}\cdot x,$

$\displaystyle x=\frac{bad}{ac+bd}.$

Látjuk, hogy $\displaystyle P$-nek és $\displaystyle S$-nek ugyanaz az első koordinátája, vagyis a $\displaystyle PS$ egyenes párhuzamos az $\displaystyle y$ tengellyel.

A $\displaystyle Q$ pont és az $\displaystyle R$ pont $\displaystyle x$ koordinátája hasonló számolással:

$\displaystyle x=\frac{bcd}{ac+bd}.$

Tehát $\displaystyle Q$-nak és $\displaystyle R$-nek is ugyanaz az $\displaystyle x$ koordinátájuk, így $\displaystyle QR$ is párhuzamos az $\displaystyle y$ tengellyel.

Az eddigiek alapján már az $\displaystyle y$ koordináták is kiszámolhatók. Például a $\displaystyle P$ pontra:

$\displaystyle y=\frac{bad}{bd+ac}\cdot \frac{c}{d}=\frac{bac}{bd+ac}.$

Hasonló módon számolva a többi pontra:

$\displaystyle Q\text{: } y=\frac{bac}{bd+ac}$, $\displaystyle R\text{: } y=\frac{dac}{bd+ac}$, $\displaystyle S\text{: } y=\frac{dac}{bd+ac}.$

Beláttuk, hogy $\displaystyle PQ$ és $\displaystyle RS$ is párhuzamos az $\displaystyle x$ tengellyel. A $\displaystyle PQRS$ négyszög oldalai párhuzamosak a tengelyekkel, tehát téglalap. Annak a körnek a középpontja, amelyen ezek a pontok rajta vannak, a téglalap átlóinak metszéspontja.

Tehát már csak azt kell belátni, hogy a téglalap középpontja rajta van az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BD$ átlók felezőpontjait összekötő szakaszon.

A téglalap középpontja a $\displaystyle K$ pont, a $\displaystyle PR$ átló felezőpontja:

$\displaystyle K \Big(\frac{bd(a+c)}{2(bd+ac)}, \frac{ac(b+d)}{2(bd+ac)}\Big)$

Legyen $\displaystyle AC$ felezőpontja az $\displaystyle F_1$, $\displaystyle BD$ felezőpontja pedig az $\displaystyle F_2$ pont. Ezek koordinátái:

$\displaystyle F_1\Big(\frac{a+c}{2}, 0\Big) \text { és } F_2\Big(0, \frac{b+d}{2}\Big).$

Az $\displaystyle F_1F_2$ egyenes egyenlete:

$\displaystyle y=-\frac{\frac{b+d}{2}}{\frac{a+c}{2}}\cdot x+\frac{b+d}{2},$

$\displaystyle \text { azaz } y =-\frac{b+d}{a+c}\cdot x+\frac{b+d}{2}.$

Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy $\displaystyle K$ valóban az egyenes pontja.

Ezzel még csak azt láttuk be, hogy azon az egyenesen rajta van. Most belátjuk, hogy a szakaszon is rajta van, vagyis, hogy az $\displaystyle x$ koordinátája 0 és $\displaystyle \frac{a+c}{2}$ közé esik (függetlenül $\displaystyle \frac{a+c}{2}$ előjelétől). A $\displaystyle K$ pont első koordinátája

$\displaystyle \frac{bd(a+c)}{2(bd+ac)}=\frac{a+c}{2}\cdot \frac{bd}{bd+ac}.$

Elég tehát azt belátni, hogy: $\displaystyle 0<\frac{bd}{bd+ac}<1$. Mivel $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ pozitív, $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ pedig negatív, ezért a számláló és a nevező is negatív, így a kifejezés pozitív, vagyis nagyobb 0-nál. $\displaystyle bd$ és $\displaystyle ac$ is negatív, így $\displaystyle \frac{bd}{bd+ac}<1$. Tehát $\displaystyle K$ rajta van az $\displaystyle F_1F_2$ szakaszon, és ezt szerettük volna belátni.

Molnár-Sáska Zoltán (Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium, Budapest, 9. évf.) dolgozata alapján.

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Cseh Kristóf, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Kovács 972 Márton, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy-György Pál, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Varga-Umbrich Eszter, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Dömsödi Bálint, Gáspár Attila, Kocsis Júlia, Lajkó Kálmán, Mócsy Miklós, Nagy Kartal, Nagy-György Zoltán, Sal Kristóf, Stein Ármin, Török Zsombor Áron, Wiandt Péter.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai