 |
A B. 4685. feladat (2015. január) |
B. 4685. Adjuk meg \(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{4}\) legkisebb lehetséges értékét, ha ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) olyan pozitív számok, melyek összege 34.
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. A szigorúan konvex \(\displaystyle x^2\), \(\displaystyle y^2\) és \(\displaystyle z^4\) függvényeket becsüljük alulról egy-egy alkalmas, az \(\displaystyle (a,a^2)\), a \(\displaystyle (b,b^2)\), illetve a \(\displaystyle (c,c^4)\) pontban húzott érintőjükkel:
| \(\displaystyle x^2 \ge a^2 + 2a(x-a) = 2ax - a^2; \) | (1a) |
| \(\displaystyle y^2 \ge b^2 + 2b(y-b) = 2by - b^2; \) | (1b) |
| \(\displaystyle z^4 \ge c^4 + 4c^3(z-c) = 4c^3z - 3c^4; \) | (1c) |
egyenlőség akkor áll, ha \(\displaystyle x=a\), \(\displaystyle y=b\), illetve \(\displaystyle z=c\).
Az egyenlőtlenségeket összeadva,
| \(\displaystyle x^2+y^2+z^4 \ge 2ax+2by+4c^3z - (a^2+b^2+3c^4). \) | (2) |
Miután \(\displaystyle x+y+z\) értéke adott, célszerú olyan \(\displaystyle a,b,c\) számokat választanunk, amikre \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) együtthatója megegyezik; így egy konstans alsó becslést kapunk \(\displaystyle x^2+y^2+z^4\) értékére. Ahhoz, hogy az egyenlőség lehetséges legyen, az szükséges, hogy \(\displaystyle a+b+c=34\) is teljesüljön:
\(\displaystyle 2a=2b=4c^3; \quad a+b+c=34. \)
Ennek megoldása \(\displaystyle c=2\), \(\displaystyle a=b=16\). Ezekkel a számokkal felírva az (2) becslést,
\(\displaystyle x^2+y^2+z^4 \ge 32(x+y+z) - 560 = 32\cdot 34-560 = 528. \)
Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az (1a--1c) becslésekben egyenlőség áll, azaz ha \(\displaystyle x=y=16\) és \(\displaystyle c=2\).
Az \(\displaystyle x^2+y^2+z^4\) legkisebb lehetséges értéke tehát az \(\displaystyle x+y+z=34\) feltétel mellett az \(\displaystyle 528\), és ezt az \(\displaystyle x=y=16\) és \(\displaystyle c=2\) választással érhetjük el.
Megjegyzések. 1. Az (1a--1c) becsléseket a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel is igazolhatjuk:
\(\displaystyle \frac{x^2+a^2}2 \ge \sqrt{a^2x^2} = |ax| \ge ax; \quad \frac{z^4+c^4+c^4+c^4}4 \ge \root4\of{z^4\cdot c^4\cdot c^4\cdot c^4} = |c^3z| \ge c^3z. \)
2. Az alsó becslést a következő formában is előadhatjuk, bár ez nem mutatja meg az \(\displaystyle a,b,c\) meghatározásának módszereit:
\(\displaystyle x^2+y^2+z^4 = 32(x+y+z)-560 + (x-16)^2+(y-16)^2+(z-2)^2(z^2+4z+12) \ge \)
\(\displaystyle \ge 32(x+y+z)-560 = 528, \)
és egyenlőség áll \(\displaystyle x=y=16\), \(\displaystyle z=2\) esetén.
2. megoldás (vázlat). Rögzített \(\displaystyle z\) mellett \(\displaystyle x+y\) is rögzített, és \(\displaystyle x^2+y^2\) minimumát a számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség miatt akkor kapjuk, ha \(\displaystyle x=y=17-\frac{z}2\). Tehát,
\(\displaystyle x^2+y^2+z^4 \ge 2\left(17-\frac{z}2\right)^2+z^4 = z^4 +\frac12z^2-34z+578. \)
Az \(\displaystyle f(z)=z^4 +\frac12z^2-34z+578\) függvény deriváltja
\(\displaystyle f'(z) = 4z^3+z-34 = (z-2)(4z^2+8z+17); \)
az utolsó tényező mindig pozitív. Az \(\displaystyle f'\) negatív \(\displaystyle z<2\) és pozitív \(\displaystyle z>2\) esetén, így \(\displaystyle f(z)\) szigorúan monoton csökken, illetve nő a \(\displaystyle (0,2]\), illetve a \(\displaystyle [2,34)\) intevallumban. A függvény minimuma tehát az \(\displaystyle z=2\) pontban van, értéke \(\displaystyle 528\).
Statisztika:
84 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 62 versenyző. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2015. januári matematika feladatai