A B. 4685. feladat (2015. január)

B. 4685. Adjuk meg $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{4}$ legkisebb lehetséges értékét, ha ha $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ olyan pozitív számok, melyek összege 34.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. A szigorúan konvex $\displaystyle x^2$, $\displaystyle y^2$ és $\displaystyle z^4$ függvényeket becsüljük alulról egy-egy alkalmas, az $\displaystyle (a,a^2)$, a $\displaystyle (b,b^2)$, illetve a $\displaystyle (c,c^4)$ pontban húzott érintőjükkel:

egyenlőség akkor áll, ha $\displaystyle x=a$, $\displaystyle y=b$, illetve $\displaystyle z=c$.

Az egyenlőtlenségeket összeadva,

Miután $\displaystyle x+y+z$ értéke adott, célszerú olyan $\displaystyle a,b,c$ számokat választanunk, amikre $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ együtthatója megegyezik; így egy konstans alsó becslést kapunk $\displaystyle x^2+y^2+z^4$ értékére. Ahhoz, hogy az egyenlőség lehetséges legyen, az szükséges, hogy $\displaystyle a+b+c=34$ is teljesüljön:

$\displaystyle 2a=2b=4c^3; \quad a+b+c=34.$

Ennek megoldása $\displaystyle c=2$, $\displaystyle a=b=16$. Ezekkel a számokkal felírva az (2) becslést,

$\displaystyle x^2+y^2+z^4 \ge 32(x+y+z) - 560 = 32\cdot 34-560 = 528.$

Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az (1a--1c) becslésekben egyenlőség áll, azaz ha $\displaystyle x=y=16$ és $\displaystyle c=2$.

Az $\displaystyle x^2+y^2+z^4$ legkisebb lehetséges értéke tehát az $\displaystyle x+y+z=34$ feltétel mellett az $\displaystyle 528$, és ezt az $\displaystyle x=y=16$ és $\displaystyle c=2$ választással érhetjük el.

Megjegyzések. 1. Az (1a--1c) becsléseket a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel is igazolhatjuk:

$\displaystyle \frac{x^2+a^2}2 \ge \sqrt{a^2x^2} = |ax| \ge ax; \quad \frac{z^4+c^4+c^4+c^4}4 \ge \root4\of{z^4\cdot c^4\cdot c^4\cdot c^4} = |c^3z| \ge c^3z.$

2. Az alsó becslést a következő formában is előadhatjuk, bár ez nem mutatja meg az $\displaystyle a,b,c$ meghatározásának módszereit:

$\displaystyle x^2+y^2+z^4 = 32(x+y+z)-560 + (x-16)^2+(y-16)^2+(z-2)^2(z^2+4z+12) \ge$

$\displaystyle \ge 32(x+y+z)-560 = 528,$

és egyenlőség áll $\displaystyle x=y=16$, $\displaystyle z=2$ esetén.

2. megoldás (vázlat). Rögzített $\displaystyle z$ mellett $\displaystyle x+y$ is rögzített, és $\displaystyle x^2+y^2$ minimumát a számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség miatt akkor kapjuk, ha $\displaystyle x=y=17-\frac{z}2$. Tehát,

$\displaystyle x^2+y^2+z^4 \ge 2\left(17-\frac{z}2\right)^2+z^4 = z^4 +\frac12z^2-34z+578.$

Az $\displaystyle f(z)=z^4 +\frac12z^2-34z+578$ függvény deriváltja

$\displaystyle f'(z) = 4z^3+z-34 = (z-2)(4z^2+8z+17);$

az utolsó tényező mindig pozitív. Az $\displaystyle f'$ negatív $\displaystyle z<2$ és pozitív $\displaystyle z>2$ esetén, így $\displaystyle f(z)$ szigorúan monoton csökken, illetve nő a $\displaystyle (0,2]$, illetve a $\displaystyle [2,34)$ intevallumban. A függvény minimuma tehát az $\displaystyle z=2$ pontban van, értéke $\displaystyle 528$.

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	62 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai