A B. 4696. feladat (2015. március)

B. 4696. Hány olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész szám van, amelyre \(\displaystyle n\) és 2015 mértani és harmonikus közepe is egész szám?

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Mikor lesz a mértani közép egész szám?

Megoldás. \(\displaystyle 2015=5\cdot 13 \cdot 31\). Az, hogy \(\displaystyle \sqrt{2015n}\) egész, ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle 2015n\) kanonikus alakjában minden prímhatvány páros kitevőn van. Ebből következik, hogy \(\displaystyle n=2015k^2\) alakú, ahol \(\displaystyle k\) pozitív egész szám.

Tekintsük a harmonikus közepet. Felhasználva, hogy \(\displaystyle n=2015k^2\), alakítsuk át a következő módon:

\(\displaystyle \frac{2}{\dfrac1{n}+\dfrac1{2015}} =\frac2{\dfrac{2015+n}{2015n}} =\frac{2\cdot 2015n}{2015+n} =\frac{2\cdot 2015 \cdot 2015k^2}{2015+2015k^2} =\frac{2\cdot 2015k^2}{1+k^2}. \)

Ha ez a szám egész, akkor a nevező osztja a számlálót: \(\displaystyle 1+k^2\mid 2\cdot 2015k^2\). Mivel \(\displaystyle 1+k^2\) és \(\displaystyle k^2\) relatív prímek, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha \(\displaystyle 1+k^2\mid 2\cdot 2015\).

A \(\displaystyle 2\cdot 2015=2\cdot5\cdot 13 \cdot 31\) osztói: 1, 2, 5, 10, 13, 26, 31, 62, 65, 95, 130, 310, 403, 806, 2015, 4030. Ezek közül csak a 2, 5, 10, 26, 65 lesz \(\displaystyle 1+k^2\) alakú. Minden \(\displaystyle k\)-hoz tartozik egy \(\displaystyle n\) érték, tehát összesen 5 darab ilyen \(\displaystyle n\) van.

Erdődi Ádám Károly (Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 10. évf.)

Statisztika:

134 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	90 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai