 |
A B. 4697. feladat (2015. március) |
B. 4697. Bizonyítsuk be, hogy bármely derékszögű érintőtrapéz rövidebbik szára egyenlő az átlók metszéspontján áthaladó, az alapokkal párhuzamos egyenesnek a trapézba eső szakaszával.
(4 pont)
A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.
Megoldási ötlet: Jelöljük ki az érintési pontokat és keressünk egyenlő hosszú szakaszokat a trapéz kerületén.
Megoldás. Először megmutatjuk, hogy tetszőleges trapézban az átlók metszéspontján áthaladó, az alapokkal párhuzamos egyenesnek a trapézba eső szakasza a két alap hosszának harmonikus közepével megegyező hosszúságú.
\(\displaystyle PT\parallel AB\), ezért a szelőszakaszok tételéből az \(\displaystyle ABD\) háromszögben
\(\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{v}{u+v}, \)
az \(\displaystyle ACD\) háromszögből pedig hasonlóan
\(\displaystyle \frac{x}{c}=\frac{u}{u+v}. \)
A két egyenlőséget összeadva:
\(\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{x}{c}=\frac{v}{u+v}+\frac{u}{u+v}=1. \)
Innen pedig rendezéssel:
\(\displaystyle x=\frac{ac}{a+c}. \)
Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle QT\) szakaszra ugyanezekkel a lépésekkel szintén azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle y=\frac{ac}{a+c}. \)
Tehát
\(\displaystyle PQ=x+y=\frac{2ac}{a+c}. \)
Térjünk rá a feladatban szereplő trapézra. Felhasználjuk Pitagorasz tételét és azt az ismert tényt, hogy érintőnégyszög szemközti oldalainak összege egyenlő: \(\displaystyle a+c=b+d\), vagyis \(\displaystyle b=a+c-d\). Az eddigieket felhasználva írjuk fel a \(\displaystyle BEC\) derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tételt:
\(\displaystyle d^{2}+{(a-c)}^{2} =b^{2}={(a+c-d)}^{2},\)
\(\displaystyle d^{2}+a^{2}-2ac+c^{2} =a^{2}+c^{2}+d^{2}+2ac-2cd-2ad.\)
Egyszerűsítések és rendezés után
\(\displaystyle ad+cd=2ac,\qquad d=\frac{2ac}{a+c}. \)
A két számítást összevetve beláttuk, hogy \(\displaystyle PQ=AD\).
Somogyi Pál (Somorja, Madách Imre Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján
Statisztika:
97 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 85 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai