A B. 4699. feladat (2015. március)

B. 4699. Szerkesszünk deltoidot, ha tudjuk, hogy van körülírt köre, adott annak a sugara, valamint a körülírt- és beírt körei középpontjának a távolsága.

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet. Keressünk összefüggést \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle r\) között. Rajzoljuk meg a derékszögű csúcsból induló szögfelezőt.

Megoldás. Legyen a szerkesztendő \(\displaystyle ABCD\) deltoid szimmetriatengelye az \(\displaystyle AC\) átló, jelöljük a deltoid \(\displaystyle A\)-nál lévő szögét \(\displaystyle 2\alpha \)-val. Mivel a deltoidnak van körülírt köre, ezért szemközti szögeinek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), tehát a szimmetria miatt \(\displaystyle B\)-nél és \(\displaystyle D\)-nél lévő szögei derékszögek. Ezért \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) rajta van az \(\displaystyle AC\) átló Thalész-körén, ami egyúttal a deltoid körülírt köre is. Ennek \(\displaystyle O_1\) középpontja tehát az \(\displaystyle AC\) átló felezőpontja. Jelöljük a deltoid beírt körének középpontját \(\displaystyle O_2\)-vel. Ez a pont a deltoid belső szögfelezőinek a metszéspontja, tehát rajta van az \(\displaystyle AC\) átlón és \(\displaystyle ABO_2\sphericalangle =CBO_2\sphericalangle =45^{\circ}\) (lásd az 1. ábrát).

1. ábra

2. ábra

A szögfelezőtétel szerint

Ha \(\displaystyle O_2\equiv O_1\), akkor \(\displaystyle AB=BC\), a szerkesztendő deltoid négyzet, amit \(\displaystyle AC\) átlójának ismeretében könnyen megszerkeszthetünk. Ha \(\displaystyle O_1O_2>0\), akkor \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) szimmetrikus szerepe miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle AB>BC\). Jelöljük az \(\displaystyle O_2\)-ben \(\displaystyle AC\)-re állított merőleges és az \(\displaystyle AB\) szakasz metszéspontját \(\displaystyle E\)-vel. Ekkor az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle AO_2E\) derékszögű háromszögek hasonlóak, mert \(\displaystyle A\)-nál lévő hegyesszögük megegyezik, mindkettőben \(\displaystyle \alpha\). Ezért

\(\displaystyle \ctg \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{AO_2}{O_2E}, \)

amiből az (1) egyenlőség miatt \(\displaystyle O_2C=O_2E\) következik.

Ezek alapján a szerkesztés már egyszerűen elvégezhető. Megrajzoljuk a deltoid \(\displaystyle O_1\) középpontú körülírt körét és kijelöljük egyik átmérőjét, ennek két végpontja \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\). Az \(\displaystyle O_1C\) sugárra \(\displaystyle O_1\)-ből felmérve az adott \(\displaystyle O_1O_2\) távolságot megkapjuk \(\displaystyle O_2\)-t. Az \(\displaystyle O_2\)-ben \(\displaystyle AC\)-re állított merőlegesre \(\displaystyle O_2\)-ből az \(\displaystyle O_2C\) távolságot felmérve kapjuk \(\displaystyle E\)-t. Az \(\displaystyle AE\) egyenes és a körülírt kör \(\displaystyle A\)-tól különböző metszéspontja adja \(\displaystyle B\)-t, ennek \(\displaystyle AC\)-re vonatkozó tükörképe pedig \(\displaystyle D\)-t.

Az így szerkesztett \(\displaystyle ABCD\) deltoid nyilván eleget tesz a feladat feltételeinek. A feladatnak egy megoldása van, ha \(\displaystyle O_1O_2\) kisebb, mint a deltoid körülírt körének sugara, ha pedig ez nem teljesül, akkor nincs megoldása.

Varga-Umbrich Eszter (Pápa, Pápai Ref. Koll. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Alexy Marcell, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Cseh Kristóf, Csépai András, Csorba Benjámin, Geng Máté, Hansel Soma, Jenei Dániel Gábor, Katona Dániel, Kocsis Júlia, Marozsák Tóbiás , Nagy Dávid Paszkál, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Olexó Gergely, Polgár Márton, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Török Tímea, Vadász András, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Varga-Umbrich Eszter, Várkonyi Dorka, Williams Kada.
3 pontot kapott:	66 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai