A B. 4699. feladat (2015. március)

B. 4699. Szerkesszünk deltoidot, ha tudjuk, hogy van körülírt köre, adott annak a sugara, valamint a körülírt- és beírt körei középpontjának a távolsága.

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet. Keressünk összefüggést $\displaystyle R$ és $\displaystyle r$ között. Rajzoljuk meg a derékszögű csúcsból induló szögfelezőt.

Megoldás. Legyen a szerkesztendő $\displaystyle ABCD$ deltoid szimmetriatengelye az $\displaystyle AC$ átló, jelöljük a deltoid $\displaystyle A$-nál lévő szögét $\displaystyle 2\alpha$-val. Mivel a deltoidnak van körülírt köre, ezért szemközti szögeinek összege $\displaystyle 180^{\circ}$, tehát a szimmetria miatt $\displaystyle B$-nél és $\displaystyle D$-nél lévő szögei derékszögek. Ezért $\displaystyle B$ és $\displaystyle D$ rajta van az $\displaystyle AC$ átló Thalész-körén, ami egyúttal a deltoid körülírt köre is. Ennek $\displaystyle O_1$ középpontja tehát az $\displaystyle AC$ átló felezőpontja. Jelöljük a deltoid beírt körének középpontját $\displaystyle O_2$-vel. Ez a pont a deltoid belső szögfelezőinek a metszéspontja, tehát rajta van az $\displaystyle AC$ átlón és $\displaystyle ABO_2\sphericalangle =CBO_2\sphericalangle =45^{\circ}$ (lásd az 1. ábrát).

1. ábra

2. ábra

A szögfelezőtétel szerint

Ha $\displaystyle O_2\equiv O_1$, akkor $\displaystyle AB=BC$, a szerkesztendő deltoid négyzet, amit $\displaystyle AC$ átlójának ismeretében könnyen megszerkeszthetünk. Ha $\displaystyle O_1O_2>0$, akkor $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ szimmetrikus szerepe miatt feltehetjük, hogy $\displaystyle AB>BC$. Jelöljük az $\displaystyle O_2$-ben $\displaystyle AC$-re állított merőleges és az $\displaystyle AB$ szakasz metszéspontját $\displaystyle E$-vel. Ekkor az $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle AO_2E$ derékszögű háromszögek hasonlóak, mert $\displaystyle A$-nál lévő hegyesszögük megegyezik, mindkettőben $\displaystyle \alpha$. Ezért

$\displaystyle \ctg \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{AO_2}{O_2E},$

amiből az (1) egyenlőség miatt $\displaystyle O_2C=O_2E$ következik.

Ezek alapján a szerkesztés már egyszerűen elvégezhető. Megrajzoljuk a deltoid $\displaystyle O_1$ középpontú körülírt körét és kijelöljük egyik átmérőjét, ennek két végpontja $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$. Az $\displaystyle O_1C$ sugárra $\displaystyle O_1$-ből felmérve az adott $\displaystyle O_1O_2$ távolságot megkapjuk $\displaystyle O_2$-t. Az $\displaystyle O_2$-ben $\displaystyle AC$-re állított merőlegesre $\displaystyle O_2$-ből az $\displaystyle O_2C$ távolságot felmérve kapjuk $\displaystyle E$-t. Az $\displaystyle AE$ egyenes és a körülírt kör $\displaystyle A$-tól különböző metszéspontja adja $\displaystyle B$-t, ennek $\displaystyle AC$-re vonatkozó tükörképe pedig $\displaystyle D$-t.

Az így szerkesztett $\displaystyle ABCD$ deltoid nyilván eleget tesz a feladat feltételeinek. A feladatnak egy megoldása van, ha $\displaystyle O_1O_2$ kisebb, mint a deltoid körülírt körének sugara, ha pedig ez nem teljesül, akkor nincs megoldása.

Varga-Umbrich Eszter (Pápa, Pápai Ref. Koll. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Alexy Marcell, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Cseh Kristóf, Csépai András, Csorba Benjámin, Geng Máté, Hansel Soma, Jenei Dániel Gábor, Katona Dániel, Kocsis Júlia, Marozsák Tóbiás , Nagy Dávid Paszkál, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Olexó Gergely, Polgár Márton, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Török Tímea, Vadász András, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Varga-Umbrich Eszter, Várkonyi Dorka, Williams Kada.
3 pontot kapott:	66 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai