A B. 4700. feladat (2015. március)

B. 4700. Oldjuk meg a

$\displaystyle \big(\sqrt{1+\sin^2 x}-\sin x\big) \big(\sqrt{1+\cos^2 x}-\cos x\big) =1$

egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Alkalmazzuk a $\displaystyle \sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}$ azonosságot.

Megoldás. Mivel $\displaystyle 1+\cos^{2}x >\cos^{2}x$ nemnegatív számok, ezért

$\displaystyle \Big|\sqrt{1+\cos^{2}x}\Big|> \big|\cos^{2}x\big|,$

és ennek következtében

$\displaystyle \sqrt{1+\cos^{2}x}-\cos x>0, \quad\text{valamint}\quad \sqrt{1+\cos^{2}x}+\cos x>0.$

Ekvivalens átalakítás tehát, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a pozitív $\displaystyle \sqrt{1+\cos^{2}x}+\cos x$ kifejezéssel. Ekkor az egyenlet:

$\displaystyle \Big(\sqrt{1+\sin^{2}x}-\sin x\Big) \Big(\sqrt{1+\cos^{2}x}-\cos x\Big) \Big(\sqrt{1+\cos^{2}x}+\cos x\Big) =$

$\displaystyle = \Big(\sqrt{1+\cos^{2}x}+\cos x\Big),$

$\displaystyle \Big(\sqrt{1+\sin^{2}x}-\sin x\Big) \big(1+\cos^{2}x-\cos^{2}x\big) \displaystyle= \Big(\sqrt{1+\cos^{2}x}+\cos x\Big),$

$\displaystyle \displaystyle\sqrt{1+\sin^{2}x}-\sin x \displaystyle =\sqrt{1+\cos^{2}x}+\cos x.$

Ezt rendezve és négyzetre emelve már kaphatunk hamis gyököket is:

$\displaystyle \sqrt{1+\sin^{2}x}-\sqrt{1+\cos^{2}x} =\sin x+\cos x,$

$\displaystyle 1+\sin^{2}x+1+\cos^{2}x-2\sqrt{\big(1+\sin^{2}x\big) \big(1+\cos^{2}x\big)} =$

$\displaystyle =\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x \cos x,$

$\displaystyle 3-2\sqrt{1+\sin^{2}x+\cos^{2}x+\sin^{2}x\cos^{2}x} =1+2\sin x\cos x.$

Kettővel osztva és rendezve:

$\displaystyle 1-\sin x \cos x=\sqrt{2+\sin^{2}x \cos^{2}x}.$

Most ismét négyzetre emelve és rendezve:

$\displaystyle 1-2\sin x \cos x +\sin^{2}x \cos^{2}x =2+\sin^{2}x \cos^{2}x,$

$\displaystyle -2\sin x \cos x =1,$

$\displaystyle \sin 2x =-1.$

Innen már adódnak a megoldások:

$\displaystyle 2x=\frac{3\pi}{2}+k\cdot 2\pi, \quad x_1=\frac{3\pi}{4}+k\cdot2\pi, \ \ x_2=\frac{7\pi}{4}+k\cdot2\pi, \ \ k\in \mathbb Z.$

Mindkét megoldást ellenőrizni kell a négyzetre emelések miatt:

$\displaystyle x_{1} =\frac{3\pi}{4}+k\cdot 2\pi, \quad \bigg(\sqrt{1+\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\bigg) \bigg(\sqrt{1+\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\,\bigg) =\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1,$

$\displaystyle x_{2} =\frac{7\pi}{4}+k\cdot 2\pi,\quad \bigg(\sqrt{1+\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\,\bigg) \bigg(\sqrt{1+\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\bigg) =\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.$

Tehát $\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi$, $\displaystyle k\in \mathbb Z$.

Kasó Ferenc (Szekszárd, Garay János Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

67 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Fekete Panna, Gáspár Attila, Geng Máté, Glasznova Maja, Gyulai-Nagy Szuzina, Kasó Ferenc, Kerekes Anna, Kovács 246 Benedek, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Németh 123 Balázs, Öreg Botond, Páli Petra, Polgár Márton, Porupsánszki István, Ratkovics Gábor, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Telek Máté László, Temesi András, Vágó Ákos, Varga-Umbrich Eszter, Wei Cong Wu, Wiandt Péter, Williams Kada, Zsakó Ágnes.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai