A B. 4705. feladat (2015. április)

B. 4705. Legyen \(\displaystyle p\) páratlan prímszám. Mutassuk meg, hogy az

\(\displaystyle x^2 + px = y^2 \)

egyenletnek pontosan egy megoldása van a pozitív egész számpárok körében.

Javasolta: Németh Balázs (Budapesti Fazekas M. Gyak. Gimn., 9. évf.)

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Szorzattá alakítás.

Megoldás. Az egyenlet ekvivalens átalakításával a bal oldalon két kifejezés szorzatát alakítjuk ki:

\(\displaystyle 4x^{2}+4px =4y^{2},\)

\(\displaystyle {(2x+p)}^{2}-p^{2} =4y^{2}, \)

\(\displaystyle {(2x+p)}^{2}-{4y}^{2} =p^{2},\)

\(\displaystyle (2x+p+2y)(2x+p-2y) =p^{2}.\)

Mivel \(\displaystyle p\) prímszám, \(\displaystyle p^{2}\)-nek csak 3 osztója van: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle p\), \(\displaystyle p^{2}\). Tehát a \(\displaystyle 2x+p+2y\) és \(\displaystyle 2x+p-2y\) szorzótényezők mindegyike \(\displaystyle p\), vagy az egyik \(\displaystyle p^{2}\) és a másik \(\displaystyle 1\). Ha mindkettő \(\displaystyle p\), akkor \(\displaystyle 2x+p+2y=2x+p-2y\), amiből \(\displaystyle 2y=-2y\), vagyis \(\displaystyle y=0\), ezt viszont nem engedik meg a feladat feltételei.

Mivel \(\displaystyle 2x+p+2y>2x+p-2y\), így egy lehetőségünk maradt:

\(\displaystyle 2x+p+2y=p^{2} \quad\text{és}\quad 2x+p-2y=1. \)

A két egyenletet összeadva: \(\displaystyle 4x+2p=p^{2}+1\), amiből

\(\displaystyle 4x=p^{2}-2p+1={(p-1)}^{2}. \)

Tehát \(\displaystyle x=\big(\frac{p-1}{2}\big)^{\!2}\). Visszahelyettesítve a \(\displaystyle 2x+p+2y=p^{2}\) egyenletbe:

\(\displaystyle 2y=p^{2}-p-2x, \)

amiből

\(\displaystyle y=\frac{p\cdot (p-1)}{2}-\left( \frac{p-1}{2} \right)^{\!\!2}=\frac{2p^{2}-2p-p^{2}+2p-1}{4}=\frac{p^{2}-1}{4}=\frac{\left( p-1 \right)(p+1)}{4}. \)

Mivel \(\displaystyle p\) páratlan prímszám, \(\displaystyle p-1\) és \(\displaystyle p+1\) is páros szám, így \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) is pozitív egész szám.

Tehát minden \(\displaystyle p\)-re pontosan egy pozitív egész megoldást kapunk \(\displaystyle x\)-re és \(\displaystyle y\)-ra.

Nagy Dávid Paszkál (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

96 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	54 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai