 |
A B. 4706. feladat (2015. április) |
B. 4706. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap oldalai \(\displaystyle AB= \frac{\sqrt{5}+1}2\) és \(\displaystyle BC=1\). Legyen \(\displaystyle E\) az \(\displaystyle AB\) szakasz azon belső pontja, amelyre \(\displaystyle AE=1\). Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle ACE\sphericalangle= 2\cdot EDB\sphericalangle. \)
Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)
(3 pont)
A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.
Megoldási ötlet: Keressünk hasonló háromszögeket.
Megoldás. Mivel \(\displaystyle \overline{AE}=1\) és \(\displaystyle \overline{AB}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\), ezért \(\displaystyle \overline{EB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\).
\(\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}} =\frac{1}{\;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\;} =\frac{2}{\sqrt{5}-1} =\frac{2\big(\sqrt{5}+1\big)}{5-1} =\frac{\sqrt{5}+1}{2}, \qquad \frac{\overline{AB}}{\overline{AE}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}. \)
Így
\(\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}}= \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EB}}. \)
A \(\displaystyle DBA\) és \(\displaystyle ECB\) derékszögű háromszögek tehát hasonlók, mert két-két oldaluk aránya és a kisebbik befogóval szemközti szögük is megegyezik (\(\displaystyle DBA\sphericalangle =ECB\sphericalangle=\alpha\)).
A téglalapot mindkét átlója két-két derékszögű háromszögre bontja. Ez a négy háromszög egybevágó, azaz
\(\displaystyle ABD\sphericalangle=ACD\sphericalangle= BDC\sphericalangle= CAB\sphericalangle=\alpha. \)
Az adatok alapján az \(\displaystyle AED\) háromszög egyenlő szárú és derékszögű, tehát \(\displaystyle AED\sphericalangle= ADE\sphericalangle= EDC\sphericalangle=45^{\circ}\).
Az eddigi jelölésekkel már számolható, hogy
\(\displaystyle EDB\sphericalangle=90^{\circ}-45^{\circ}-BDC\sphericalangle=45^{\circ}-\alpha=\beta. \)
Az \(\displaystyle ACE\sphericalangle\) pedig a téglalap \(\displaystyle C\) csúcsnál fekvő derékszögéből
\(\displaystyle ACE\sphericalangle=90^{\circ}-DCA\sphericalangle-ECB\sphericalangle= 90^{\circ}-2\alpha=2\cdot(45^{\circ}-\alpha)= 2\cdot{EDB\sphericalangle}=2\beta. \)
Vankó Miléna (Budapesti Fazekas Mihály Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján
Statisztika:
113 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 86 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 17 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai