A B. 4706. feladat (2015. április)

B. 4706. Az $\displaystyle ABCD$ téglalap oldalai $\displaystyle AB= \frac{\sqrt{5}+1}2$ és $\displaystyle BC=1$. Legyen $\displaystyle E$ az $\displaystyle AB$ szakasz azon belső pontja, amelyre $\displaystyle AE=1$. Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle ACE\sphericalangle= 2\cdot EDB\sphericalangle.$

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Keressünk hasonló háromszögeket.

Megoldás. Mivel $\displaystyle \overline{AE}=1$ és $\displaystyle \overline{AB}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$, ezért $\displaystyle \overline{EB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

$\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}} =\frac{1}{\;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\;} =\frac{2}{\sqrt{5}-1} =\frac{2\big(\sqrt{5}+1\big)}{5-1} =\frac{\sqrt{5}+1}{2}, \qquad \frac{\overline{AB}}{\overline{AE}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.$

Így

$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}}= \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EB}}.$

A $\displaystyle DBA$ és $\displaystyle ECB$ derékszögű háromszögek tehát hasonlók, mert két-két oldaluk aránya és a kisebbik befogóval szemközti szögük is megegyezik ($\displaystyle DBA\sphericalangle =ECB\sphericalangle=\alpha$).

A téglalapot mindkét átlója két-két derékszögű háromszögre bontja. Ez a négy háromszög egybevágó, azaz

$\displaystyle ABD\sphericalangle=ACD\sphericalangle= BDC\sphericalangle= CAB\sphericalangle=\alpha.$

Az adatok alapján az $\displaystyle AED$ háromszög egyenlő szárú és derékszögű, tehát $\displaystyle AED\sphericalangle= ADE\sphericalangle= EDC\sphericalangle=45^{\circ}$.

Az eddigi jelölésekkel már számolható, hogy

$\displaystyle EDB\sphericalangle=90^{\circ}-45^{\circ}-BDC\sphericalangle=45^{\circ}-\alpha=\beta.$

Az $\displaystyle ACE\sphericalangle$ pedig a téglalap $\displaystyle C$ csúcsnál fekvő derékszögéből

$\displaystyle ACE\sphericalangle=90^{\circ}-DCA\sphericalangle-ECB\sphericalangle= 90^{\circ}-2\alpha=2\cdot(45^{\circ}-\alpha)= 2\cdot{EDB\sphericalangle}=2\beta.$

Vankó Miléna (Budapesti Fazekas Mihály Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

113 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	86 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai