A B. 4712. feladat (2015. április)

B. 4712. Hány százalékát pazaroljuk el egy ceruzának? Tegyük fel, hogy a ceruza végtelen hosszú henger alakú, és benne a grafit is egy hengeres rúd, a hengerek tengelye pedig egybeesik. Kihegyezzük a ceruzát úgy, hogy a grafit hegye tökéletes kúp alakú, melynek nyílásszöge 12 fok. A használat során a ceruza és a papírlap által bezárt szög mindig 42 fok. Egészen addig használjuk a ceruzát, amíg már akárhogyan is forgatjuk a tengelye körül, nem tudunk írni vele, mert a fa karcolni kezdi a papírt. Ekkor újra kihegyezzük a ceruzát, egészen addig, hogy a ceruza hegye újra 12 fokos kúp legyen, de nem tovább, vagyis a grafit hegyének csúcsa nem változik a hegyezés során, az csak a használat során kopik. A grafit hány százalékát pazaroljuk el azzal, hogy a hegyezések során mindig valamennyit leforgácsolunk? Többet vagy kevesebbet pazarol az, aki 45 fokban tartja a ceruzát, és mennyivel?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A ceruza tengelye a papírral 42°-os szöget zár be:

1. ábra

Amikor a ceruza addig kopott, hogy már nem lehet vele írni, akkor a hegye egy, az előzővel azonos alapkörű, de \(\displaystyle 2\cdot42=84°\)-os nyílásszögű kúp lesz:

2. ábra

Ekkor kifaragjuk a ceruzát úgy, hogy az új kúp és a tompa kúp csúcsa azonos marad:

3. ábra

A ceruza végtelen hosszú, és alakja a kopás-faragás közben periódikusan változik. Ezért a keresett arányhoz egy ilyen periódust vizsgálunk, azaz azt, hogy az elhasznált grafitból mennyit pazaroltunk, amíg a hegyes (12° nyílásszögű) kúp eltompul, kifaragjuk, és újra hegyes kúp lesz. A ceruzának csak a grafit részével foglalkozunk. Hasznos a grafitnak az a része, amelyik akkor használódik el, amikor írunk, azaz a hegyes kúp és a tompa kúp térfogatának különbsége. Nem használjuk a grafitnak azt a részét, amelyik a faragás során veszik el, ez a pazarlás.

Legyen a kúp alapkörének sugara: \(\displaystyle r\), a hegyes kúp magassága: \(\displaystyle m_1\). a tompa kúp magassága: \(\displaystyle m_2\). Ekkor:

\(\displaystyle V({\rm hasznos})=r^2\pi\cdot\frac{m_1}3-r^2\pi\cdot\frac{m_2}3.\)

4. ábra

\(\displaystyle V({\rm nem\;\;\;hasznos})=V({\rm henger})+V({\rm tompa\;\;\; kúp})-V({\rm hegyes\;\;\; kúp})=r^2\pi(m_1-m_2)+r^2\pi\cdot\frac{m_2}3-r^2\pi\cdot \frac{m_1}3\)

5. ábra

\(\displaystyle V({\rm hasznos})+V({\rm nem\;\;\; hasznos})=r^2\pi(m_1-m_2)\)

Így a keresett arány:

\(\displaystyle \frac{V({\rm nem\;\;\;hasznos})}{V({\rm hasznos})+V({\rm nem \;\;\;hasznos})}=\frac{r^2\pi(m_1-m_2)+r^2\pi\cdot\frac{m_2}3-r^2\pi\cdot \frac{m_1}3}{r^2\pi(m_1-m_2)}=\frac{1-\frac13}1=\frac23.\)

Tehát a ceruza \(\displaystyle \frac23\)-át pazaroljuk el, azaz kb. 66,667 százalékát. Ez az érték független attól, hogy milyen szögben tartjuk a ceruzát.

Gál Boglárka (Veszprém, Lovassy László Gimn., 12. évf.)

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adorján Dániel, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Bodolai Előd, Cseh Kristóf, Csépai András, Czirkos Angéla, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gál Boglárka, Gál Hanna, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Katona Dániel, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Khayouti Sára, Kovács 162 Viktória, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Nagy Ábel, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Olexó Gergely, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Solymosi Zsófia, Szakács Lili Kata, Szauer Marcell, Szebellédi Márton, Tóth Viktor, Váli Benedek, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bindics Boldizsár, Kuchár Zsolt, Szakály Marcell, Vu Mai Phuong, Wiandt Péter.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai