 |
A B. 4713. feladat (2015. április) |
B. 4713. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsain áthaladó kör az \(\displaystyle AB\) oldalt \(\displaystyle D\)-ben, az \(\displaystyle AC\) oldalt \(\displaystyle E\)-ben metszi. A \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle BE\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle O\). Legyen \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle ADE\), \(\displaystyle N\) pedig az \(\displaystyle ODE\) háromszög beírt körének középpontja. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle MN\) egyenes felezi a kisebbik \(\displaystyle DE\) ívet.
(6 pont)
A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Az \(\displaystyle ED\), \(\displaystyle DB\), \(\displaystyle CE\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EB\) körívek felezőpontjait jelölje rendre \(\displaystyle X\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle R\), illetve \(\displaystyle S\). Az \(\displaystyle EDO\) háromszögben \(\displaystyle DV\) és \(\displaystyle EU\) belső szögfelezők, amik átmennek az \(\displaystyle N\) ponton. Hasonlóan, az \(\displaystyle EDB\sphericalangle\) külső szögfelezője \(\displaystyle DS\), az \(\displaystyle CED\sphericalangle\) külső szögfelezője \(\displaystyle ER\), ezek átmennek \(\displaystyle M\)-en. Messe továbbá az \(\displaystyle MN\) egyenes a \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle DX\) és \(\displaystyle EX\) egyeneseket rendre a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle X_1\), illetve \(\displaystyle X_2\) pontokban.
A \(\displaystyle DEM\) háromszög egyenlő szárú, így \(\displaystyle FDE\sphericalangle=DEF\sphericalangle\).
A kör kerületén mérve \(\displaystyle \widehat{VE}=\tfrac12\widehat{CE}= \tfrac12\big(\widehat{CD}-\widehat{ED}\big)= \widehat{RD}-\widehat{XD}=\widehat{RX}\), így \(\displaystyle KDN\sphericalangle=EDV\sphericalangle=XER\sphericalangle= X_2EM\sphericalangle\). Hasonlóan láthatjuk, hogy \(\displaystyle NEK\sphericalangle=MDX_1\sphericalangle\).
A fenti szögek megegyezéséből láthatjuk, hogy az \(\displaystyle DN,DK,DX_1,DM\) és \(\displaystyle EM,EX_2,EK,EN\) sugársorok egybevágóak. A Papposz-Steiner tétel miatt
\(\displaystyle (N,K,X_1,M) = (DN,DK,DX_1,DM) = (EM, EX_2, EK, EN) = (M,X_2,K,N) = (N,K,X_2,M). \)
Ezért \(\displaystyle X_1=X_2\), ami csak úgy lehet, ha mindkét pont egybeesik \(\displaystyle X\)-szel, vagyis \(\displaystyle MN\) felezi a \(\displaystyle ED\) körívet.
Megjegyzés. Mivel a pontok sorrendje az ábrán látottól eltérhet, a hosszadalmas diszkusszió elkerülése érdekében célszerű irányított (modulo \(\displaystyle 180^\circ\)) szögekkel számolni.
Statisztika:
4 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Csépai András. 5 pontot kapott: Fekete Panna, Nagy-György Pál, Williams Kada.
A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai