A B. 4714. feladat (2015. május)

B. 4714. Adott a síkon 2015 pont. Mutassuk meg, hogy ha közülük bármely négy egy konvex négyszög négy csúcsa, akkor a pontok egy konvex 2015-szög csúcsai.

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A 2015 pont akkor alkot konvex $\displaystyle 2015$-szöget, ha közülük semelyik 3 nem esik egy egyenesbe és mindegyikük rajta van a konvex burkuk határán.

Az adott pontok közül semelyik három nem eshet egy egyenesbe, mert akkor a három kollineáris ponthoz egy tetszőleges negyediket választva négy olyan pontot kapnánk, amik nem alkotnak konvex négyszöget.

Tegyük fel, hogy a pontok nem egy konvex $\displaystyle 2015$-szög csúcsai. Mivel a pontok nem esnek egy egyenesre, ezért ekkor konvex burkuk, $\displaystyle \mathcal{K}$, egy konvex $\displaystyle n$-szög valamely $\displaystyle n<2015$ egészre, továbbá a pontok közül legalább egy $\displaystyle \mathcal{K}$ belsejébe esik. Válasszuk ki $\displaystyle \mathcal{K}$ egyik csúcsát (az ábrán $\displaystyle A_1$), és húzzuk be az ebből kiinduló $\displaystyle n-3$ darab átlót. Ezek $\displaystyle \mathcal{K}$-t $\displaystyle n-2$ darab háromszögre osztják, s e háromszögek teljesen lefedik $\displaystyle \mathcal{K}$-t. Ezért ha $\displaystyle P$ olyan pont a $\displaystyle 2015$ közül, mely $\displaystyle \mathcal{K}$ belsejébe esik, akkor az átlók által meghatározott $\displaystyle n-2$ háromszög között van egy olyan (az ábrán $\displaystyle A_1A_iA_{i+1}$), amelyiknek a belsejébe esik. Ekkor viszont $\displaystyle P$ és az azt tartalmazó háromszög három csúcsa nem alkot konvex négyszöget. Ez az ellentmondás bizonyítja állításunkat.

Nagy Dávid Paszkál (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai