A B. 4723. feladat (2015. szeptember)

B. 4723. Megadható-e végtelen sok különböző prímszám, melyek közül bármely 2015 összege összetett szám?

Javasolta: Mészáros Gábor (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Hint: Tekintsük azokat a prímeket, amelyeknek tízes számrendszerben megegyzik az utolsó jegye.

Megoldásvázlat. Tekintsük a prímszámok utolsó számjegyeit a 10-es számrendszerben. A 2 és az 5 kivételével a többi prímek 1-re, 3-ra, 7-re, vagy 9-re végződnek. Ezek közül a végződések közül legalább az egyik végtelen sokszor előfordul, hiszen tudjuk, hogy a prímszámok száma végtelen. Vegyük ezeket a \(\displaystyle 10k+r\) alakú prímeket. Ezek közül akárhogyan is választunk ki 2015 darabot, az összeg biztosan osztható lesz 5-tel, vagyis összetett szám lesz.

Megjegyzés: A Dirichlet-tétel alapján tudjuk, hogy a \(\displaystyle 10k+1, 10k+3, 10k+7\) és a \(\displaystyle 10k+9\) alakú prímekből egyaránt végtelen sok van, de ezt a tényt itt nem kell felhasználni.

Statisztika:

205 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	159 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai