A B. 4726. feladat (2015. szeptember)

B. 4726. Az $\displaystyle ABCD$ négyzet $\displaystyle AB$, illetve $\displaystyle BC$ oldalán lévő $\displaystyle P$, illetve $\displaystyle Q$ pontra $\displaystyle BP=BQ$. Jelölje $\displaystyle T$ a $\displaystyle B$ csúcsból a $\displaystyle PC$ szakaszra bocsátott merőleges talppontját. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle DTQ\sphericalangle$ derékszög.

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Hint: Keressünk hasonló háromszögeket.

Megoldásvázlat. Legyen a négyzet oldala a, és BP=BQ=d.

Ekkor a BCP derékszögű háromszög befogóinak hossza a és d, hegyesszögei pedig legyenek $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ (1.ábra). Az ábrán így több szög is berajzolható a derékszögek miatt.

1. ábra

Ekkor $\displaystyle \mathrm{tg}\,\alpha =\frac a d$.

A BQT háromszög hasonló a CDT háromszöghöz, mert két oldaluk aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik: $\displaystyle \frac{\mathit{CD}}{\mathit{BQ}}=\frac a d=\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\mathit{CT}}{\mathit{BT}}$ és a közbezárt szög $\displaystyle \alpha$.

A BQT háromszöget a T pont körül $\displaystyle 90{}^{\circ}$-al pozitív irányba elforgatva, a BT oldal CT-re kerül, BQ oldal párhuzamos lesz CD-vel, a QT oldal pedig DT-re kerül a hasonlóság miatt. (2.ábra)

Tehát $\displaystyle \mathit{DTQ}{\measuredangle}$ derékszög.

2. ábra

Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	109 versenyző.
3 pontot kapott:	32 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai