A B. 4726. feladat (2015. szeptember)

B. 4726. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalán lévő \(\displaystyle P\), illetve \(\displaystyle Q\) pontra \(\displaystyle BP=BQ\). Jelölje \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle B\) csúcsból a \(\displaystyle PC\) szakaszra bocsátott merőleges talppontját. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DTQ\sphericalangle\) derékszög.

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Hint: Keressünk hasonló háromszögeket.

Megoldásvázlat. Legyen a négyzet oldala a, és BP=BQ=d.

Ekkor a BCP derékszögű háromszög befogóinak hossza a és d, hegyesszögei pedig legyenek \(\displaystyle \alpha \) és \(\displaystyle \beta \) (1.ábra). Az ábrán így több szög is berajzolható a derékszögek miatt.

1. ábra

Ekkor \(\displaystyle \mathrm{tg}\,\alpha =\frac a d\).

A BQT háromszög hasonló a CDT háromszöghöz, mert két oldaluk aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik: \(\displaystyle \frac{\mathit{CD}}{\mathit{BQ}}=\frac a d=\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\mathit{CT}}{\mathit{BT}}\) és a közbezárt szög \(\displaystyle \alpha \).

A BQT háromszöget a T pont körül \(\displaystyle 90{}^{\circ}\)-al pozitív irányba elforgatva, a BT oldal CT-re kerül, BQ oldal párhuzamos lesz CD-vel, a QT oldal pedig DT-re kerül a hasonlóság miatt. (2.ábra)

Tehát \(\displaystyle \mathit{DTQ}{\measuredangle}\) derékszög.

2. ábra

Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	109 versenyző.
3 pontot kapott:	32 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai