A B. 4728. feladat (2015. szeptember)

B. 4728. Legyen $\displaystyle e$ egy kocka valamelyik élegyenese. Hány olyan egyenes van a térben, ami a kocka 12 élegyenese közül pontosan azokat metszi, amelyek $\displaystyle e$-hez képest kitérők?

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Hint: A keresett egyenesnek két olyan síkban kell egyszerre elhelyezkednie, amelyek metsző síkok.

Megoldás. Tekintsük az $\displaystyle AB$ élegyenessel kitérő élegyeneseket. Ezek (a rajzon szaggatott vonallal jelzett) egyenesek $\displaystyle CG, FG, EH$ és $\displaystyle DH$ egyenesek.

Az $\displaystyle EH$ és $\displaystyle FG$ párhuzamos egyenesek egy-egy pontján átmenő egyenes benne van az $\displaystyle EFGH$ síkban. Ugyanígy a $\displaystyle CG$ és $\displaystyle DH$ párhuzamos egyenesek egy-egy pontján átmenő egyenes pedig benne van a $\displaystyle CGHD$ síkban. Ennek a két síknak csak egy közös egyenese van, a $\displaystyle HG$ egyenes. Ez párhuzamos az $\displaystyle AB$ élegyenessel.

Tehát egy olyan egyenes van, amely csak az $\displaystyle e$-vel kitérő egyeneseket metszi: a $\displaystyle HG$ egyenes.

Statisztika:

208 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	113 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	53 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai