A B. 4728. feladat (2015. szeptember)

B. 4728. Legyen \(\displaystyle e\) egy kocka valamelyik élegyenese. Hány olyan egyenes van a térben, ami a kocka 12 élegyenese közül pontosan azokat metszi, amelyek \(\displaystyle e\)-hez képest kitérők?

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Hint: A keresett egyenesnek két olyan síkban kell egyszerre elhelyezkednie, amelyek metsző síkok.

Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle AB\) élegyenessel kitérő élegyeneseket. Ezek (a rajzon szaggatott vonallal jelzett) egyenesek \(\displaystyle CG, FG, EH\) és \(\displaystyle DH\) egyenesek.

Az \(\displaystyle EH\) és \(\displaystyle FG\) párhuzamos egyenesek egy-egy pontján átmenő egyenes benne van az \(\displaystyle EFGH\) síkban. Ugyanígy a \(\displaystyle CG\) és \(\displaystyle DH\) párhuzamos egyenesek egy-egy pontján átmenő egyenes pedig benne van a \(\displaystyle CGHD\) síkban. Ennek a két síknak csak egy közös egyenese van, a \(\displaystyle HG\) egyenes. Ez párhuzamos az \(\displaystyle AB\) élegyenessel.

Tehát egy olyan egyenes van, amely csak az \(\displaystyle e\)-vel kitérő egyeneseket metszi: a \(\displaystyle HG\) egyenes.

Statisztika:

208 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	113 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	53 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai