A B. 4729. feladat (2015. szeptember)

B. 4729. Adott az $\displaystyle ABCD$ négyszög, melynek $\displaystyle C$-nél és $\displaystyle D$-nél levő szöge derékszög. Szerkesszük meg a $\displaystyle CD$ szakasznak azt a $\displaystyle P$ pontját, melyre $\displaystyle APD \sphericalangle= 2 \, BPC \sphericalangle$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Hint: Tekintsük azokat a köröket, amelyeknek az $\displaystyle AP$ egyenes és a $\displaystyle CD$ egyenes is érintője, továbbá a $\displaystyle CD$ egyenes által meghatározott félsíkok közül az $\displaystyle A$-val és $\displaystyle B$-vel ellentétes félsíkban helyezkednek el.

Megoldásvázlat. Tükrözzük a $\displaystyle B$ csúcsot a $\displaystyle CD$ egyenesre. A tükörképpont legyen $\displaystyle O$. Ezután írjunk $\displaystyle O$ körül $\displaystyle OC$ sugarú kört. Ez a kör érinti a $\displaystyle CD$ egyenest. Húzzunk most érintőt az $\displaystyle A$ pontból ehhez a körhöz. Legyen az érintési pont az ábra szerint $\displaystyle E$.

Azt állítjuk, hogy az érintő és a $\displaystyle CD$ szakasz metszéspontja a szerkesztendő $\displaystyle P$ pont. Egyrészt a tükrözés miatt $\displaystyle BPC\angle=OPC\angle=\beta$. Másrészt $\displaystyle PC$ és $\displaystyle PE$ az $\displaystyle O$ középpontú körhöz húzott érintők, tehát $\displaystyle CPO\angle=OPE\angle=\beta$. Az $\displaystyle APD$ és a $\displaystyle CPE$ szögek csúcsszögek, tehát egyenlők. Ezzel beláttuk, hogy

$\displaystyle APD\angle=2\cdot BPC\angle.$

Az $\displaystyle AE$ érintő csak abban az esetben metszi a $\displaystyle CD$ szakaszt, ha $\displaystyle CD>BC$.

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Balázs Attila, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Horváth András János, Imolay András, Kerekes Anna, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Nándor, Polgár Márton, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Szemerédi Levente, Varga-Umbrich Eszter.
4 pontot kapott:	Al-Sayyed Zakariás, Ardai István Tamás, Bosits Balázs Géza, Glattfelder Hanna, Harsch Leila, Kővári Péter Viktor, Németh 123 Balázs, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Simon Dániel Gábor, Stein Ármin, Tibay Álmos, Tóth Viktor, Török Tímea, Tran 444 Ádám, Vághy Mihály, Vu Mai Phuong, Zólomy Kristóf.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai