 |
A B. 4735. feladat (2015. október) |
B. 4735. Szerkesszünk húrnégyszöget, ha adott két-két szemközti oldalegyenesének a metszéspontja, az egyik csúcsa, valamint az ezen áthaladó átló egyenese.
(4 pont)
A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a megszerkesztendő négyszög ABCD, a megadott csúcsa A, P=AB∩CD, Q=AD∩BC és e=AC. Ekkor tehát ismertek az A,P,Q pontok és az A-n átmenő e egyenes.
Irányított (modulo 180∘) szögekkel számolva,
PCQ∠=DCB∠=DAB∠=QAP∠=−PAQ∠.
Tükrözzük az A pontot a PQ egyenesre; a tükörkép legyen A′. Ekkor tehát
PCQ∠=−PAQ∠=PA′Q∠,
vagyis a P,Q,C,A′ pontok egy körön vannak.
Fontos lesz a következő észrevétel is: az A,B,C,D pontok a PQ egyenesnek csak azonos oldalán lehetnek. Például a P pont az AB szakasz meghosszabításán van, tehát A és B a PQ egyenesnek ugyanazon az oldalán van. Hasonlóan látjuk, hogy B és C, továbbá C és D is ugyanazon az oldalon vannak.
A szerkesztés lépései:
1. Tükrözzük az A pontot az PQ egyenesre; a tükörkép legyen A′,
2. A PQA′ kör A′-t nem tartalmazó PQ ívét elmetsszük az e egyenessel; így kapjuk meg a lehetséges C pontot vagy pontokat.
3. A B pont a PA és QC egyenesek, a D pont pedig a PC és QA egyenesek metszéspontja.
Diszkusszió:
Mivel az ABP, ADQ és e egyenesek különbözők, nincs megoldás akkor, ha a P,Q,A pontok egy egyenesen vannak, vagy ha e átmegy P és Q valamelyikén. Ha e elkerüli az A′ ponttal szemközti PQ körívet, akkor sincs megoldás.
További bonyodalmat okoz, hogy ha PAQ∠=90∘, akkor a P,Q,A,A′ pontok egy körön vannak, így az e egyenes és az A′-vel szemközti PQ körív egyik metszéspontja az A pont; a C pont csak ettől különböző lehet. Tehát a szerkesztés 2. lépését ki kell egészítenünk azzal, hogy csak az A-tól különböző pontokat vesszük figyelembe.
A PQA′ kör, az A pont és az e egyenes helyzetétől függően 0, 1 vagy 2 lehetséges C pont lehet. A továbbiakban megmutatjuk, hogy ezek mindig egy-egy megfelelő ABCD négyszöget határoznak meg: ha az A és C pontok különbözők, az PQ egyenesnek ugyanazon az oldalán vannak, akkor a B és D pontok is ugyanebben a félsíkban lesznek, az ABCD négyszög húrnégyszög, és konvex, azaz nem hurkolt.
A szerkesztés miatt PAQ∠+PCQ∠=180∘.
1. eset: Az e=AC egyenes elválasztja egymástól a P,Q pontokat (baloldali ábra).
Most az A, C pontok szerepe szimetrikus; vizsgáljuk azt az esetet, amikor C a PQA háromszög belsejébe esik. Ekkor a B pont a AP, a D pont az AQ szakasz belső pontja, az ABCD négyszög konvex, végül BAD∠+DCB∠=PAQ∠+PCQ∠=180∘, a négyszög húrnégyszög.
2. eset: A P,Q pontok az e=AC egyenesnek ugyanarra az oldalára esnek (jobboldali ábra).
A szimetria miatt feltehetjük, hogy PQAC konvex négyszög. A B=AP∩QC pont ennek belső pontja. Mivel
QPC∠+AQP∠=(180∘−PCQ∠−CQP∠)+(180∘−PAQ∠−QPA∠)<360∘−(PAQ∠+PCQ∠)=180∘,
A PC és QA félegyenesek metszik egymást, tehát D is ebben a félsíkban van. Az ABCD négyszög ezért konvex, és
DAB∠+BCD∠=(180∘−∠PAQ∠)+(180∘−∠PCQ∠)=180∘,
vagyis ABCD most is húrnégyszög.
Statisztika:
109 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 76 versenyző. 3 pontot kapott: 31 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai
|
|