 |
A B. 4735. feladat (2015. október) |
B. 4735. Szerkesszünk húrnégyszöget, ha adott két-két szemközti oldalegyenesének a metszéspontja, az egyik csúcsa, valamint az ezen áthaladó átló egyenese.
(4 pont)
A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a megszerkesztendő négyszög \(\displaystyle ABCD\), a megadott csúcsa \(\displaystyle A\), \(\displaystyle P=AB\cap CD\), \(\displaystyle Q=AD\cap BC\) és \(\displaystyle e=AC\). Ekkor tehát ismertek az \(\displaystyle A,P,Q\) pontok és az \(\displaystyle A\)-n átmenő \(\displaystyle e\) egyenes.
Irányított (modulo \(\displaystyle 180^\circ\)) szögekkel számolva,
\(\displaystyle PCQ\angle = DCB\angle = DAB\angle = QAP\angle = -PAQ\angle. \)
Tükrözzük az \(\displaystyle A\) pontot a \(\displaystyle PQ\) egyenesre; a tükörkép legyen \(\displaystyle A'\). Ekkor tehát
\(\displaystyle PCQ\angle = -PAQ\angle = PA'Q\angle, \)
vagyis a \(\displaystyle P,Q,C,A'\) pontok egy körön vannak.
Fontos lesz a következő észrevétel is: az \(\displaystyle A,B,C,D\) pontok a \(\displaystyle PQ\) egyenesnek csak azonos oldalán lehetnek. Például a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle AB\) szakasz meghosszabításán van, tehát \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) a \(\displaystyle PQ\) egyenesnek ugyanazon az oldalán van. Hasonlóan látjuk, hogy \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), továbbá \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) is ugyanazon az oldalon vannak.
A szerkesztés lépései:
1. Tükrözzük az \(\displaystyle A\) pontot az \(\displaystyle PQ\) egyenesre; a tükörkép legyen \(\displaystyle A'\),
2. A \(\displaystyle PQA'\) kör \(\displaystyle A'\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle PQ\) ívét elmetsszük az \(\displaystyle e\) egyenessel; így kapjuk meg a lehetséges \(\displaystyle C\) pontot vagy pontokat.
3. A \(\displaystyle B\) pont a \(\displaystyle PA\) és \(\displaystyle QC\) egyenesek, a \(\displaystyle D\) pont pedig a \(\displaystyle PC\) és \(\displaystyle QA\) egyenesek metszéspontja.
Diszkusszió:
Mivel az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle ADQ\) és \(\displaystyle e\) egyenesek különbözők, nincs megoldás akkor, ha a \(\displaystyle P,Q,A\) pontok egy egyenesen vannak, vagy ha \(\displaystyle e\) átmegy \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) valamelyikén. Ha \(\displaystyle e\) elkerüli az \(\displaystyle A'\) ponttal szemközti \(\displaystyle PQ\) körívet, akkor sincs megoldás.
További bonyodalmat okoz, hogy ha \(\displaystyle PAQ\angle=90^\circ\), akkor a \(\displaystyle P,Q,A,A'\) pontok egy körön vannak, így az \(\displaystyle e\) egyenes és az \(\displaystyle A'\)-vel szemközti \(\displaystyle PQ\) körív egyik metszéspontja az \(\displaystyle A\) pont; a \(\displaystyle C\) pont csak ettől különböző lehet. Tehát a szerkesztés 2. lépését ki kell egészítenünk azzal, hogy csak az \(\displaystyle A\)-tól különböző pontokat vesszük figyelembe.
A \(\displaystyle PQA'\) kör, az \(\displaystyle A\) pont és az \(\displaystyle e\) egyenes helyzetétől függően 0, 1 vagy 2 lehetséges \(\displaystyle C\) pont lehet. A továbbiakban megmutatjuk, hogy ezek mindig egy-egy megfelelő \(\displaystyle ABCD\) négyszöget határoznak meg: ha az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok különbözők, az \(\displaystyle PQ\) egyenesnek ugyanazon az oldalán vannak, akkor a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) pontok is ugyanebben a félsíkban lesznek, az \(\displaystyle ABCD\) négyszög húrnégyszög, és konvex, azaz nem hurkolt.
A szerkesztés miatt \(\displaystyle PAQ\angle+PCQ\angle=180^\circ\).
1. eset: Az \(\displaystyle e=AC\) egyenes elválasztja egymástól a \(\displaystyle P,Q\) pontokat (baloldali ábra).
Most az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) pontok szerepe szimetrikus; vizsgáljuk azt az esetet, amikor \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle PQA\) háromszög belsejébe esik. Ekkor a \(\displaystyle B\) pont a \(\displaystyle AP\), a \(\displaystyle D\) pont az \(\displaystyle AQ\) szakasz belső pontja, az \(\displaystyle ABCD\) négyszög konvex, végül \(\displaystyle BAD\angle+DCB\angle=PAQ\angle+PCQ\angle=180^\circ\), a négyszög húrnégyszög.
2. eset: A \(\displaystyle P,Q\) pontok az \(\displaystyle e=AC\) egyenesnek ugyanarra az oldalára esnek (jobboldali ábra).
A szimetria miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle PQAC\) konvex négyszög. A \(\displaystyle B=AP\cap QC\) pont ennek belső pontja. Mivel
\(\displaystyle QPC\angle + AQP\angle = (180^\circ-PCQ\angle-CQP\angle) + (180^\circ-PAQ\angle-QPA\angle) < 360^\circ - (PAQ\angle+PCQ\angle)=180^\circ, \)
A \(\displaystyle PC\) és \(\displaystyle QA\) félegyenesek metszik egymást, tehát \(\displaystyle D\) is ebben a félsíkban van. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög ezért konvex, és
\(\displaystyle DAB\angle + BCD\angle = (180^\circ-\angle PAQ\angle)+(180^\circ-\angle PCQ\angle) =180^\circ, \)
vagyis \(\displaystyle ABCD\) most is húrnégyszög.
Statisztika:
109 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 76 versenyző. 3 pontot kapott: 31 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai