A B. 4737. feladat (2015. október)

B. 4737. Az $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszög $\displaystyle AB$ átfogójához tartozó magasságának talppontja $\displaystyle D$. Az $\displaystyle ACD\sphericalangle$ és a $\displaystyle BCD\sphericalangle$ szögfelezője az $\displaystyle AB$ átfogót rendre az $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ pontokban metszi. Határozzuk meg az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt, és a $\displaystyle CEF$ háromszög körülírt köre sugarainak arányát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az $\displaystyle {{ABC}}$ háromszögben az oldalak hosszai $\displaystyle {{BC}}=a;{{CA}}=b;{{AB}}=c$, a belső szögfelezőinek metszéspontja, azaz a beírt körének középpontja legyen $\displaystyle K$, a $\displaystyle {{CF}}$ és $\displaystyle {{AK}}$, valamint $\displaystyle {{CE}}$ és $\displaystyle {{BK}}$ egyenesek metszéspontja rendre $\displaystyle M$ és $\displaystyle N$.

Bocsássunk merőlegest az $\displaystyle E$ pontból az $\displaystyle {{AC}}$, az $\displaystyle F$ pontból a $\displaystyle {{BC}}$ befogóra, a merőlegesek talppontjai rendre $\displaystyle G$ és $\displaystyle H$.

Az $\displaystyle {{ACD}}{\angle}$ $\displaystyle {{CE}}$ szögfelezőjének minden pontja egyenlő távol van a szögszáraktól, ezért $\displaystyle {{ED}}={{EG}}$. Hasonlóképpen a $\displaystyle {{BCD}}{\angle}$ $\displaystyle {{CF}}$ szögfelezőjének minden pontja egyenlő távol van a szögszáraktól, ezért $\displaystyle {{FD}}={{FH}}$.

1. ábra

Az $\displaystyle {{ABC}}$ derékszögű háromszög területére a $\displaystyle {{CD}}=m$ jelöléssel $\displaystyle \frac{a\cdot b} 2=\frac{c\cdot m} 2$, innen

Figyelembe véve, hogy a $\displaystyle {{CEG}}$ és $\displaystyle {{CED}}$, illetve $\displaystyle {{CFH}}$ és $\displaystyle {{CFD}}$ háromszögek egybevágók, és ezért $\displaystyle {{CG}}={{CH}}=m$, felírhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét a $\displaystyle {{BAC}}{\angle}$ és $\displaystyle {{ABC}}{\angle}$ szögekre:

Innen (1) felhasználásával

A párhuzamos szelőszakaszok tétele szerint $\displaystyle \frac{{{BF}}} c=\frac{{{FH}}} b$, illetve $\displaystyle \frac{{{AE}}} c=\frac{{{EG}}} a$, ezekből (3) alapján az következik, hogy

és

A (4) összefüggés pontosan azt jelenti, hogy $\displaystyle {{AF}}=b$, az (5) összefüggés szerint pedig $\displaystyle {{BE}}=a$.

Ebből pedig az következik, hogy a $\displaystyle {{CAF}}$ és $\displaystyle {{CBE}}$ háromszögek egyenlő szárú háromszögek, tehát a szárak szögének szögfelezői merőlegesen felezik az $\displaystyle M$ illetve $\displaystyle N$ pontokban a megfelelő alapokat, vagyis az $\displaystyle {{AK}}$ szögfelező $\displaystyle {{CF}}$ szakasznak, míg a $\displaystyle {{BK}}$ szögfelező a $\displaystyle {{CE}}$ szakasznak a felező merőlegese.

A szakaszfelező merőleges minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz végpontjaitól, ezért

innen pedig

A (7) összefüggés szerint az $\displaystyle {{ABC}}$ háromszög beírt körének $\displaystyle K$ középpontja egyenlő távol van a $\displaystyle {{CEF}}$ háromszög csúcsaitól, ezért a $\displaystyle K$ pont a $\displaystyle {{CEF}}$ háromszög körülírt körének középpontja, azaz $\displaystyle {{KC}}={{KF}}={{KE}}=R$.

A (4) és (5) összefüggésekből $\displaystyle {{EF}}={{AB}}-{{BF}}-{{AE}}$ alapján azt kapjuk, hogy

Tekintsük most a 2. ábrát! Ezen megrajzoltuk az $\displaystyle {{ABC}}$ háromszög beírt körét, amelynek középpontja $\displaystyle K$, és amelynek a $\displaystyle {{BC}};{{CA}};{{AB}}$ oldalakon levő érintési pontjai rendre $\displaystyle P;Q;R$. A $\displaystyle {{KPCQ}}$ négyszög minden szöge derékszög és két szomszédos oldalára $\displaystyle {{KP}}={{KQ}}=r$, ezért a $\displaystyle {{KPCQ}}$ négyszög négyzet, és így $\displaystyle {{PC}}={{QC}}=r$.

2. ábra

A külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hosszának egyenlősége alapján ebből az következik, hogy

A (9) összefüggések szerint $\displaystyle a-r+b-r=c$, azaz

(8) és (10) egybevetésével azt kapjuk, hogy $\displaystyle {{EF}}=2r$.

Nyilvánvaló, hogy az 1. ábrán a $\displaystyle {{CE}}$ és $\displaystyle {{CF}}$ szögfelezők miatt $\displaystyle \varphi ={{ECF}}\angle=45{}^{\circ}$, így $\displaystyle {{CEF}}$ háromszög körülírt körében az $\displaystyle {{EF}}=2r$ húrhoz $\displaystyle 45{}^{\circ}$-os kerületi szög tartozik, ezért egyrészt $\displaystyle {{EKF}}\angle=90{}^{\circ}$, másrészt $\displaystyle {{KF}}={{KE}}=R$ miatt az $\displaystyle {{EKF}}$ egyenlőszárú derékszögű háromszög, tehát $\displaystyle 2r=R\cdot \sqrt 2$, ahonnan a $\displaystyle \frac R r$ arány pontos értékére azt kapjuk, hogy $\displaystyle \frac R r=\sqrt 2$.

Megjegyzések: 1. $\displaystyle \frac R r=\sqrt 2$ pontos értéke kifejezhető az $\displaystyle {{CEF}}$ háromszögre felírt általános szinusztételből is, hiszen eszerint $\displaystyle {{EF}}=2r=2R\cdot \text{sin}45{}^{\circ}$

2. A (10) összefüggés ismert geometriai tétel, erre bizonyítás nélkül is hivatkozhat a versenyző.

Bíró Bálint megoldása

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	79 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai