A B. 4737. feladat (2015. október)

B. 4737. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle AB\) átfogójához tartozó magasságának talppontja \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle ACD\sphericalangle\) és a \(\displaystyle BCD\sphericalangle\) szögfelezője az \(\displaystyle AB\) átfogót rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban metszi. Határozzuk meg az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt, és a \(\displaystyle CEF\) háromszög körülírt köre sugarainak arányát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle {{ABC}}\) háromszögben az oldalak hosszai \(\displaystyle {{BC}}=a;{{CA}}=b;{{AB}}=c\), a belső szögfelezőinek metszéspontja, azaz a beírt körének középpontja legyen \(\displaystyle K\), a \(\displaystyle {{CF}}\) és \(\displaystyle {{AK}}\), valamint \(\displaystyle {{CE}}\) és \(\displaystyle {{BK}}\) egyenesek metszéspontja rendre \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\).

Bocsássunk merőlegest az \(\displaystyle E\) pontból az \(\displaystyle {{AC}}\), az \(\displaystyle F\) pontból a \(\displaystyle {{BC}}\) befogóra, a merőlegesek talppontjai rendre \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\).

Az \(\displaystyle {{ACD}}{\angle}\) \(\displaystyle {{CE}}\) szögfelezőjének minden pontja egyenlő távol van a szögszáraktól, ezért \(\displaystyle {{ED}}={{EG}}\). Hasonlóképpen a \(\displaystyle {{BCD}}{\angle}\) \(\displaystyle {{CF}}\) szögfelezőjének minden pontja egyenlő távol van a szögszáraktól, ezért \(\displaystyle {{FD}}={{FH}}\).

1. ábra

Az \(\displaystyle {{ABC}}\) derékszögű háromszög területére a \(\displaystyle {{CD}}=m\) jelöléssel \(\displaystyle \frac{a\cdot b} 2=\frac{c\cdot m} 2\), innen

Figyelembe véve, hogy a \(\displaystyle {{CEG}}\) és \(\displaystyle {{CED}}\), illetve \(\displaystyle {{CFH}}\) és \(\displaystyle {{CFD}}\) háromszögek egybevágók, és ezért \(\displaystyle {{CG}}={{CH}}=m\), felírhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét a \(\displaystyle {{BAC}}{\angle}\) és \(\displaystyle {{ABC}}{\angle}\) szögekre:

Innen (1) felhasználásával

A párhuzamos szelőszakaszok tétele szerint \(\displaystyle \frac{{{BF}}} c=\frac{{{FH}}} b\), illetve \(\displaystyle \frac{{{AE}}} c=\frac{{{EG}}} a\), ezekből (3) alapján az következik, hogy

és

A (4) összefüggés pontosan azt jelenti, hogy \(\displaystyle {{AF}}=b\), az (5) összefüggés szerint pedig \(\displaystyle {{BE}}=a\).

Ebből pedig az következik, hogy a \(\displaystyle {{CAF}}\) és \(\displaystyle {{CBE}}\) háromszögek egyenlő szárú háromszögek, tehát a szárak szögének szögfelezői merőlegesen felezik az \(\displaystyle M\) illetve \(\displaystyle N\) pontokban a megfelelő alapokat, vagyis az \(\displaystyle {{AK}}\) szögfelező \(\displaystyle {{CF}}\) szakasznak, míg a \(\displaystyle {{BK}}\) szögfelező a \(\displaystyle {{CE}}\) szakasznak a felező merőlegese.

A szakaszfelező merőleges minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz végpontjaitól, ezért

innen pedig

A (7) összefüggés szerint az \(\displaystyle {{ABC}}\) háromszög beírt körének \(\displaystyle K\) középpontja egyenlő távol van a \(\displaystyle {{CEF}}\) háromszög csúcsaitól, ezért a \(\displaystyle K\) pont a \(\displaystyle {{CEF}}\) háromszög körülírt körének középpontja, azaz \(\displaystyle {{KC}}={{KF}}={{KE}}=R\).

A (4) és (5) összefüggésekből \(\displaystyle {{EF}}={{AB}}-{{BF}}-{{AE}}\) alapján azt kapjuk, hogy

Tekintsük most a 2. ábrát! Ezen megrajzoltuk az \(\displaystyle {{ABC}}\) háromszög beírt körét, amelynek középpontja \(\displaystyle K\), és amelynek a \(\displaystyle {{BC}};{{CA}};{{AB}}\) oldalakon levő érintési pontjai rendre \(\displaystyle P;Q;R\). A \(\displaystyle {{KPCQ}}\) négyszög minden szöge derékszög és két szomszédos oldalára \(\displaystyle {{KP}}={{KQ}}=r\), ezért a \(\displaystyle {{KPCQ}}\) négyszög négyzet, és így \(\displaystyle {{PC}}={{QC}}=r\).

2. ábra

A külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hosszának egyenlősége alapján ebből az következik, hogy

A (9) összefüggések szerint \(\displaystyle a-r+b-r=c\), azaz

(8) és (10) egybevetésével azt kapjuk, hogy \(\displaystyle {{EF}}=2r\).

Nyilvánvaló, hogy az 1. ábrán a \(\displaystyle {{CE}}\) és \(\displaystyle {{CF}}\) szögfelezők miatt \(\displaystyle \varphi ={{ECF}}\angle=45{}^{\circ}\), így \(\displaystyle {{CEF}}\) háromszög körülírt körében az \(\displaystyle {{EF}}=2r\) húrhoz \(\displaystyle 45{}^{\circ}\)-os kerületi szög tartozik, ezért egyrészt \(\displaystyle {{EKF}}\angle=90{}^{\circ}\), másrészt \(\displaystyle {{KF}}={{KE}}=R\) miatt az \(\displaystyle {{EKF}}\) egyenlőszárú derékszögű háromszög, tehát \(\displaystyle 2r=R\cdot \sqrt 2\), ahonnan a \(\displaystyle \frac R r\) arány pontos értékére azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \frac R r=\sqrt 2\).

Megjegyzések: 1. \(\displaystyle \frac R r=\sqrt 2\) pontos értéke kifejezhető az \(\displaystyle {{CEF}}\) háromszögre felírt általános szinusztételből is, hiszen eszerint \(\displaystyle {{EF}}=2r=2R\cdot \text{sin}45{}^{\circ}\)

2. A (10) összefüggés ismert geometriai tétel, erre bizonyítás nélkül is hivatkozhat a versenyző.

Bíró Bálint megoldása

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	79 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai