A B. 4752. feladat (2015. december)

B. 4752. Egy egyenes a közös pont nélküli \(\displaystyle k_1\), illetve \(\displaystyle k_2\) körből rendre az egyenlő hosszúságú \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) húrokat metszi ki. A metszéspontok sorban \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\). Egy \(\displaystyle P\) pontra teljesül, hogy \(\displaystyle PA\) érinti a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle PD\) pedig a \(\displaystyle k_2\) kört. Adjuk meg a \(\displaystyle \frac{PA}{PD}\) arányt a két kör sugarának felhasználásával.

M&IQ

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle k_2\) kört az \(\displaystyle AD\) egyenes irányában eltolva a \(\displaystyle PAD\) háromszög szögei nem változnak, így oldalainak aránya sem. Ezért felvehetjük úgy a köröket, hogy \(\displaystyle B\equiv C\).

Legyen az \(\displaystyle ADP\) háromszög \(\displaystyle P\)-ből induló magassága \(\displaystyle m\), talppontja \(\displaystyle M\), a húrok hossza \(\displaystyle AB=BD=h\), felezőpontjaik rendre \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\). A \(\displaystyle PAB\angle=\alpha\) szög a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle AB\) húrjához tartozó érintő szárú kerületi szög. Ugyanehhez a húrhoz tartozó középponti szög \(\displaystyle AO_1B\angle=2\alpha\), az \(\displaystyle AO_1F\angle=\alpha\), mert ennek a fele. Így \(\displaystyle PAB\angle=\alpha=AO_1F\angle\), ami azt jelenti, hogy a \(\displaystyle PMA\) és az \(\displaystyle AFO_1\) derékszögű háromszögek hasonlóak. Ugyanígy belátható, hogy a \(\displaystyle PMD\) és a \(\displaystyle DGO_2\) derékszögű háromszögek is hasonlóak. A megfelelő oldalak arányának egyenlőségét felírva: \(\displaystyle \frac{PA}{r}=\frac{m}{(h/2)}=\frac{PD}{R}\), vagyis \(\displaystyle \frac{PA}{r}=\frac{PD}{R}\). Ebből a keresett arány: \(\displaystyle \frac{PA}{PD}=\frac{r}{R}\).

Ha a körök az alábbi ábrának megfelelően helyezkednek el, akkor nem a \(\displaystyle PAB\angle\), hanem a \(\displaystyle PAM\angle\) lesz \(\displaystyle \alpha\):

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Bukva Balázs, Busa 423 Máté, Csertán András, Csitári Nóra, Czirkos Angéla, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Glasznova Maja, Hornák Bence, Juhász 326 Dániel, Kasó Ferenc, Keresztfalvi Bálint, Kuchár Zsolt, Lakatos Ádám, Matolcsi Dávid, Mészáros Anna, Mikulás Zsófia, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Paulovics Péter, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid, Szemerédi Levente, Tiszay Ádám, Tóth 111 Máté , Váli Benedek, Varsányi András, Viharos Loránd Ottó, Záhorský Ákos.
3 pontot kapott:	83 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai