A B. 4753. feladat (2015. december)

B. 4753. Bizonyítsuk be, hogy bármely $\displaystyle x>0$ számra

$\displaystyle \sqrt{2x \sqrt{(2x+1) \sqrt{(2x+2) \sqrt{2x+3}}}} < \frac{15x+6}{8}.$

Javasolta: Deák Imre (Székelyudvarhely)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget a $\displaystyle 2x,2x+1,2x+2,2x+3$ és $\displaystyle 1$ számokra az $\displaystyle \frac12,\frac14,\frac18,\frac1{16},\frac1{16}$ súlyokkal (a súlyok összege $\displaystyle 1$):

$\displaystyle (2x)^{\frac12} \cdot (2x+1)^{\frac14} \cdot (2x+2)^{\frac18} \cdot (2x+3)^{\frac1{16}} \cdot 1^{\frac1{16}} \le \frac12(2x) + \frac14(2x+1) + \frac18(2x+2) + \frac1{16} (2x+3) + \frac1{16} \cdot1,$

$\displaystyle \sqrt{2x \sqrt{(2x+1) \sqrt{(2x+2) \sqrt{2x+3}}}} \le \frac{15x+6}{8}.$

Egyenlőség csak akkor lehetne, ha az öt szám, aminek a közepeit vettük, egyenlő lenne: $\displaystyle 2x=2x+1=2x+2=2x+3=1$. Ez viszont nem teljesülhet, például $\displaystyle 2x$ és $\displaystyle 2x+1$ biztosan különböző.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	85 versenyző.
4 pontot kapott:	44 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai