A B. 4754. feladat (2015. december)

B. 4754. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle D$ belső pontján átmenő $\displaystyle AD$, $\displaystyle BD$ és $\displaystyle CD$ egyenesek a szemközti oldalakat rendre az $\displaystyle A_{1}$, $\displaystyle B_{1}$ és $\displaystyle C_{1}$ pontokban metszik. Az $\displaystyle A_{1}B_{1}$ szakasz felezőpontja $\displaystyle C_{2}$, $\displaystyle B_{1}C_{1}$ felezőpontja $\displaystyle A_{2}$, $\displaystyle C_{1}A_{1}$ felezőpontja pedig $\displaystyle B_{2}$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AA_{2}$, $\displaystyle BB_{2}$ és $\displaystyle CC_{2}$ egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. (1) Tetszőleges $\displaystyle XYZ$ háromszög $\displaystyle XF$ súlyvonalára $\displaystyle \frac{XY}{XZ}=\frac{\sin ZXF\angle}{\sin FXY\angle}$, hiszen a $\displaystyle ZXF$ és $\displaystyle FXY$ háromszögek területe egyenlő:

$\displaystyle \frac{1}{2}XZ \cdot XF \cdot \sin ZXF\angle = \frac{1}{2}XF \cdot XY \cdot \sin FXY\angle\,.$

(2) Alkalmazzuk (1)-et az $\displaystyle AB_1C_1$, $\displaystyle BC_1A_1$, $\displaystyle CA_1B_1$ háromszögekre:

$\displaystyle \frac{AB_1}{AC_1} = \frac{\sin A_2AC_1\angle}{\sin B_1AA_2\angle}, \,\, \frac{BC_1}{BA_1} = \frac{\sin B_2BA_1\angle}{\sin C_1BB_2\angle},\,\,\frac{CA_1}{CB_1} = \frac{\sin C_2CB_1\angle}{\sin A_1CC_2\angle},$

ezeket összeszorozva pedig - a Ceva-tétel szerint:

$\displaystyle 1 = \frac{AB_1\cdot BC_1\cdot CA_1}{AC_1\cdot BA_1\cdot CB_1} = \frac{\sin A_2AC_1\angle\cdot \sin B_2BA_1\angle\cdot \sin C_2CB_1\angle} {\sin B_1AA_2\angle \cdot \sin C_1BB_2\angle\cdot \sin A_1CC_2\angle}\,.$

A Ceva-tétel trigonometrikus alakja alapján ez éppen azt jelenti, hogy az $\displaystyle AA_2$, $\displaystyle BB_2$ és $\displaystyle CC_2$ egyenesek egy ponton mennek át.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Hansel Soma, Harsányi Benedek, Harsch Leila, Horváth András János, Imolay András, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Kosztolányi Kata, Kovács 162 Viktória, Kovács 246 Benedek, Lajkó Kálmán, Lakatos Ádám, Matolcsi Dávid, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Polgár Márton, Radnai Bálint, Richlik Róbert, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Szajbély Zsigmond, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Váli Benedek, Varga-Umbrich Eszter.
4 pontot kapott:	Nguyen Viet Hung, Pap Tibor, Wiandt Péter.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai