A B. 4759. feladat (2016. január)

B. 4759. Egy kerek asztal körül négy férfi és négy nő ül. Bizonyítsuk be, hogy van négy szomszédos ember, akik közt ugyanannyi a nő, mint a férfi.

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a kerek asztal körüli 8 helyet A, B, C, D, E, F, G és H betűkkel. Tegyük fel, hogy kiválasztjuk az A, B, C, D helyen ülőket és nem teljesül, hogy közöttük ugyanannyi a nő, mint a férfi. Ekkor a következő esetek vannak (a nemekre nézve szimmetrikus, és a térben szimmetrikus eseteket egy esetnek véve):

a) Mind a négy ember férfi (1. ábra). Ekkor a következő négy helyen ülő ember mind nő, így a C, D, E, F helyeken ülőket kiválasztva teljesül az állítás.

1. ábra

b) A D helyen egy nő ül, a másik három helyen pedig férfi (2. ábra). Ekkor, ha a negyedik férfi az E vagy F helyen ül, akkor a C, D, E, F, ha a G vagy H helyen ül, akkor az F, G, H, A helyeken ülőket kiválasztva teljesül az állítás.

2. ábra

c) A C helyen egy nő ül, a másik három helyen pedig férfi (3. ábra). Ekkor, ha a negyedik férfi az E helyen ül, akkor a C, D, E, F; ha nem az E helyen ül, akkor pedig a B, C, D, E helyeken ülőket kiválasztva teljesül az állítás.

3. ábra

Statisztika:

182 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	148 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2016. januári matematika feladatai