 |
A B. 4760. feladat (2016. január) |
B. 4760. Négy különböző színű, szabályos dobókockát elhelyeztünk egymás mellett, az ábrán látható módon. Egy lépésben a következőt tehetjük: megfogunk két lapszomszédos kockát, és ezeket a közös lap középpontján átmenő, arra merőleges tengely körül \(\displaystyle 90^\circ\)-kal elforgatjuk. Hányféle különböző elrendezést lehet létrehozni ilyen lépésekkel?
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a (felülnézet szerinti) bal felső kocka lapjainak helyzetét 1, 2, 3, 4, 5, 6-tal, az 1-es a felső. Hasonlóan számozzuk a többi kocka lapjainak helyzetét is, a felül levők a 7-es, 13-as és a 19-es. Ha egy mozgatás során például a 1-es helyen levő lap a 2-esbe, az 2-es a 3-asbe, a 3-es pedig az 1-esbe kerül, továbbá a 4-es az 5-ösbe, az 5-ös a 6-osba, az pedig a 4-esba, akkor a mozgatást \(\displaystyle (1,2,3)(4,5,6)\)-tal jelöljük. Két mozgatás egymásutánját szorzatként jelöljük, egy \(\displaystyle m\) mozgatás inverzét pedig jelölje \(\displaystyle m^{-1}\). A négy tengely körüli 90°-os elforgatások az ábra szerint \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\).
Ekkor
\(\displaystyle a=(1,2,6,5)(7,8,12,11)\,,\, b=(1,4,6,3)(13,16,18,15)\,, \)
\(\displaystyle C:=aba^{-1}b^{-1}=(1,3,5)(2,6,4)\,, \)
\(\displaystyle D:=aabaab^{-1}=(1,6)(3,4)\,, \)
\(\displaystyle E:=abba^{-1}bb=(1,6)(2,5)\,, \text{így\ } DE=(2,5)(3,4)\,. \)
Ezért
\(\displaystyle DC=(1,4,5)(2,6,3) \,,\, DCD=(6,4,5)(2,1,3)\,,\, DCDDC=(1,2,4)(3,6,5)\,. \)
A \(\displaystyle C\,,\,D\,,\,E\) mozgatások és ezek szorzataiból előálló transzformációk csak a bal felső kocka lapjainak a helyzetét változtatják, ezek megfelelőivel hasonlóan változtatható bármelyik másik kocka helyzete is úgy, hogy a többié változatlan marad. Jelölje \(\displaystyle G\) a bal felső kocka ilyen módon előálló összes különböző transzformációjának halmazát. Világos, hogy ezeknél az 1-es helyen levő lap a hat helyzet bármelyikébe eljuttatható. Ha \(\displaystyle G_1\) azoknak a \(\displaystyle G\)-beli transzformációknak a halmaza, amelyek a felső lapot helybenhagyják, akkor könnyen látható, hogy \(\displaystyle |G|=6\cdot|G_1|\). A \(\displaystyle G_1\)-beli mozgatások során az 1-essel szemköztes 6-os helyzetű lap is szükségképpen fixen marad, míg a 2-es a \(\displaystyle DE\)-nél az 5-ösbe megy. Így \(\displaystyle |G_1|\geqslant 2\cdot|(G_1)_2|\), ezért \(\displaystyle |G|\geqslant 6 \cdot 2=12\).
Másrészt az \(\displaystyle abb=(1,2)(3,4)(5,6)(7,8,12,11)(13,18)(15,16)\) mozgatás hatása a bal felső kockán \(\displaystyle (1,2)(3,4)(5,6)\), ami páratlan sok csere szorzataként \(\displaystyle G\) minden elemétől különböző, ezért \(\displaystyle G\) elemeit ezzel megszorozva \(\displaystyle |G|\) számú egymástól és \(\displaystyle G\) elemeitől különböző transzformációt kapunk - ezek a \(\displaystyle G\) elemeivel együtt legalább \(\displaystyle 12+12=24\) különböző helyzetbe állíthatják a bal felső kockát. Mivel összesen is csak ennyi térbeli mozgatás létezik, ami egy kockát önmagára képez, a bal felső kocka 24-féle helyzetet vehet föl. Az ehhez felhasznált transzformációknak a bal alsó kockára vonatkozó hatása vagy semmi, vagy \(\displaystyle bb\)-nek a hatása: \(\displaystyle (13,18)(15,16)\), ami éppen \(\displaystyle (1,6)(3,4)=D\) megfelelője. Így a bal alsó kocka is 24 különböző helyzetbe állítható a bal felső kocka bármelyik lehetséges helyzetéhez képest, és e helyzeteket megvalósító mozgatások hatása a jobb alsó kockára vagy semmi, vagy egy olyan transzformáció, ami a megengedett elforgatások olyan kombinációjával állítható vissza, ami a többi kockát nem befolyásolja. Ezért a jobb alsó kocka is 24 különböző helyzetet vehet föl, a bal oldali kockák helyzetétől függetlenül. A fennmaradó jobb felső kocka 12-féle helyzetbe állítható olyan forgatáskombinációkkal, amelyek a többi kocka helyzetét nem változtatják meg, tehát összesen \(\displaystyle 24^3\cdot 12\)-féle helyzetet elő tudunk állítani a fentiek szerint. Ez éppen a fele a négy kocka külön-külön történő bármilyen mozgatással kapható konfigurációk számának. Utóbbiaknak pontosan a fele a \(\displaystyle 4\cdot 6=24\) laphelyzet páros permutációja, vagyis páros sok csere szorzataként kapható csak meg. Mivel mind a négy megengedett forgatás (így azok összes szorzata is) páros permutáció, a feladat kérdésére a válasz \(\displaystyle 24^3\cdot 12\).
Statisztika:
34 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Imolay András, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Lajkó Kálmán, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Kartal, Szabó 417 Dávid, Tóth Viktor, Váli Benedek. 5 pontot kapott: Hansel Soma, Szabó Kristóf. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző.
A KöMaL 2016. januári matematika feladatai